Линейное многообразие

Линейным многообразием в линейном пространстве $H$ называется подмножество этого пространства вида

$M = \{v+x | x \in L\}$

для каких-то фиксированных подпространства $L$ и вектора $v$, то есть подмножество, полученное сдвигом каждого элемента из $L$ на вектор $v$. Обозначение:

$M = v + L$

Если $M_1 = v_1 + L$ и $M_2 = v_2 + L$, то $M_1 = M_2$ тогда и только тогда, когда и $v_1 - v_2 \in L$.

В частности, $M$ является линейным подпространством тогда и только тогда, когда $v \in L$ (т.е. $M$ содержит нулевой элемент). В этом случае $M=L$.

Если $H$ — гильбертово пространство, а $L$ — его замкнутое подпространство, то можно выбрать вектор $v \in H$ в определении $M$ ($M \neq L$) ортогональным подпространству $L$. Такое представление $M = v + L$, $v \perp L$ единственно.

Пересечение линейных многообразий всегда является линейным многообразием.

Размерность линейного многообразия $M$ — это размерность линейного подпространства $L$: $\dim M = \dim L.$ Для линейных многообразий $M_1, \, M_2$ в $n$-мерном векторном пространстве или $M_1 \cap M_2 = \emptyset$, или $\dim (M_1 \cap M_2) \geq \dim M_1 + \dim M_2 - n$

Литература

1. Ульянов А. П. Лекции по линейной алгебре и анализу Лекции для студентов 1 курса физического факультета НГУ.
2. Дьедонне Ж. Линейная алгебра и элементарная геометрия. Перевод с французского Г. В. Дорофеева. — М.: Наука, 1972. — 335 с.