НЕСГЛАЖИВАЕМОЕ МНОГООБРАЗИЕ

- кусочно линейное или топологическое многообразие, не допускающее гладкой структуры.

Сглаживанием кусочно линейного многообразия Xназ. кусочно линейный изоморфизм где М- гладкое многообразие. Многообразие, не допускающее сглаживания, и наз. несглаживаемым многообразием. Сказанное с нек-рыми изменениями применимо и к топологическим многообразиям.

Пример Н. м. Пусть - 4k-мерное многообразие Милнора (см. Древовидное многообразие). В частности, параллелизуемо, его сигнатура равна 8, и его край гомотопически эквивалентен сфере . Подклейка к конуса над приводит к пространству . При этом, так как Месть кусочно линейная сфера (см. обобщенная Пуанкаре гипотеза), то СМ кусочно линейный диск, так что Р- кусочно линейное многообразие. С другой стороны, Ресть Н. м., так как его сигнатура равна 8, а сигнатура гладкого почти параллелизуемого (т. е. параллелизуе-мого после выкалывания точки) 4-х мерного многообразия кратна числу , экспоненциально растущему с ростом к. Многообразие Мне диффеоморфно сфере , т. е. М- Милнора сфера.

Критерий сглаживаемости кусочно линейного многообразия. Пусть - ортогональная группа, а - группа сохраняющих начало кусочно линейных гомеоморфизмов (см. Кусочно линейная топология). Включение индуцирует расслоение где BG- классифицирующее пространство группы G. При получается расслоение слой к-рого обозначается через М/О. Кусочно линейное многообразие Xобладает линейным стабильным нормальным расслоением , классифицируемым отображением Если же Xявляется гладким (сглаживаемым) многообразием, то оно обладает векторным стабильным нормальным расслоением классифицируемым отображением причем ро Это условие также и достаточно, т. е. замкнутое кусочно линейное многообразие Xсглаживаемо тогда и только тогда, когда его кусочно линейное стабильное нормальное расслоение допускает векторную редукцию, т. е. когда отображение "поднимается" в ВО (существует такое ).

Два сглаживания и наз. эквивалентными, если существует диффеоморфизм (см. Структура на многообразии). Множество ts(X) классов эквивалентности сглаживаний находится в естественном взаимно однозначном соответствии с классами послойной гомотопности поднятий отображения . Иными словами, для сглаживаемого Xмножество

Лит.:[1] Kervaire M., "Comment, math, helv.", 1960, t. 34, p. 257-70; [2] Милнор Д ж., Сташеф Д ж., Характеристические классы, пер. с англ., М., 1979.

Ю. И. Рудяк.