Центральное многообразие

Центральное многообразие

Центра́льное многообра́зие особой точки автономного обыкновенного дифференциального уравненияинвариантное многообразие в фазовом пространстве, проходящее через особую точку и касающееся инвариантного центрального подпространства линеаризации дифференциального уравнения. [1] Важный объект изучения теории дифференциальных уравнений и динамических систем. В некотором смысле, вся нетривиальная динамика системы в окрестности особой точки сосредоточена на центральном многообразии.[2]

Содержание

Формальное определение

Рассмотрим автономное дифференциальное уравнение с особой точкой 0:

\dot x=Ax+f(x),\quad(*)

где x\in \mathbb R^n, A — линейный оператор, f(x) — гладкая функция класса C^{k+1}, причем f(0)=0 и Df(0)=0. Иными словами, Axлинеаризация векторного поля в особой точке 0.

Согласно классическим результатам линейной алгебры, линейное пространство раскладывается в прямую сумму трех A-инвариантных подпространств \mathbb R^n=T^s\oplus T^u\oplus T^c, где T^s, T^u, T^c определяются знаком вещественной части соответствующих собственных значений (см. табл.)

подпространство название спектр A
T^s устойчивое (stable) \operatorname{Re} \lambda <0
T^u неустойчивое (unstable) \operatorname{Re} \lambda >0
T^c центральное (center) \operatorname{Re} \lambda = 0

Эти подпространства являются инвариантными многообразиями линеаризованной системы \dot x=Ax, решением которой является матричная экспонента x(t)=e^{At}x_0. Оказывается, динамика системы в окрестности особой точки по своим свойствам близка к динамике линеаризованной системы. Точнее, справедливо следующее утверждение: [3]

Теорема (О центральном многообразии). В окрестности особой точки существуют многообразия W^s, W^u и W^c классов C^{k+1}, C^{k+1} и C^k соответственно, инвариантные относительно фазового потока дифференциального уравнения. Они касаются в начале координат подпространств T^s, T^u и T^c и называются устойчивым, неустойчивым и центральным многообразиями соответственно.

Устойчивое и неустойчивое инвариантные многообразия называются также гиперболическими, они определяются единственным образом; в то же время, локальное центральное многообразие определяется не единственным образом. Очевидно, что если система (*) линейна, то инвариантные многообразия совпадают с соответствующими инвариантными подпространствами оператора A.

Пример: седлоузел

Фазовый портрет седлоузловой особой точки. Красным выделено одно из возможных локальных центральных многообразий

Невырожденные особые точки на плоскости не имеют центрального многообразия. Рассмотрим простейший пример вырожденной особой точки: седлоузел вида

\begin{cases}
\dot x=x^2\\
\dot y=y
\end{cases}

Его неустойчивое многообразие совпадает с осью Oy и состоит из двух вертикальных сепаратрис \{x=0,y>0\} и x=0,y<0 и самой особой точки. Остальные фазовые кривые задаются уравнением

y(x)=y_0 \exp\left(\frac{1}{x_0}-\frac{1}{x}\right),

где y(x_0)=y_0.

Нетрудно видеть, что в левой полуплоскости единственная фазовая кривая, стремящаяся к особой точке, совпадает с лучом оси Ox \{x<0, y=0\}. В то же время, в правой полуплоскости существует бесконечно много (континуум) фазовых кривых, стремящихся к нулю — это графики функции y(x) для любого x_0>0 и любого y_0. В силу того, что функция y(x) является плоской в нуле, мы можем составить гладкое инвариантное многообразие из луча \{x<0, y=0\}, точки (0, 0) и любой траектории в правой полуплоскости. Любое из них локально будет центральным многообразием точки (0, 0). [4]

Глобальные центральные многообразия

Если рассматривать уравнение (*) не в некоторой окрестности особой точки 0, а во всем фазовом пространстве \mathbb R^n, можно дать определение глобального центрального многообразия. Неформально говоря, его можно определить как инвариантное многообразие, траектории на котором не стремятся к бесконечности (в прямом либо обратном времени) вдоль гиперболических направлений. В частности, глобальное центральное многообразие содержит все ограниченные траектории (а значит, и все предельные циклы, особые точки, сепаратрисные связки и т.д.) [5]

Рассмотрим проекции \pi_s,\ \pi_u,\pi_c пространства \mathbb R^n на соответствующие инвариантные подпространства оператора A. Определим также подпространство T^h=T^u\oplus T^s и проекцию \pi_h на него. Центральным многообразием W^c называется множество таких точек x фазового пространства, что проекция траекторий, стартующих из x, на гиперболическое подпространство, ограничена. Иными словами

W^c:=\left\{x\in  \mathbb  R^n : \sup_{t\in \mathbb R} |\pi_h(\tilde x(t,x))|<\infty \right\},

где \tilde x(t,x) — такое решение уравнения (*), что \tilde x(0,x)=x. [6]

Для существования глобального центрального многообразия на функцию f(x) необходимо наложить дополнительные условия: ограниченность и липшицевость с достаточно малой константой Липшица. В этом случае глобальное центральное многообразие существует, само является липшицевым подмногообразием в \mathbb R^n и определено единственным образом. [6] Если потребовать от f(x) гладкости порядка k и малости производной, то глобальное центральное многообразие будет иметь гладкость порядка k и касаться центрального инвариантного подпространства T^c в особой точке 0. Из этого следует, что если рассматривать ограничение глобального центрального многообразия на малую окрестность особой точки, то оно будет локальным центральным многообразием — это один из способов доказательства его существования. Даже если система (*) не удовлетворяет условиям существования глобального центрального многообразия, её можно модифицировать вне какой-то окрестности нуля (домножив на подходящую гладкую срезающую функцию типа «шапочка»), так, чтобы эти условия стали выполняться, и рассмотреть ограничение имеющегося у модифицированной системы глобального центрального многообразия. Оказывается, можно сформулировать и обратное утверждение: можно глобализовать локально заданную систему и продолжить локальное центральное многообразие до глобального. [7] Точнее, это утверждение формулируется следующим образом:[8]

Теорема. Пусть f\in C^k(\mathbb R^n), k\ge 1, f(0)=0, Df(0)=0 и W^c — локальное центральное многообразие (*). Найдется такая малая окрестность нуля \Omega и такая ограниченная на всем пространстве функция \tilde f(x), совпадающая с f(x) в \Omega, что уравнение (*) для функции \tilde f имеет гладкое глобальное центральное многообразие, совпадающее в области \Omega с W^c

Следует отметить, что переход от локальных задач к глобальным и наоборот часто используется при доказательстве утверждений, связанных с центральными многообразиями.

Принцип сведения

Как было сказано выше, нетривиальная динамика вблизи особой точки «сосредоточена» на центральном многообразии. Если особая точка гиперболическая (то есть линеаризация не содержит собственных значений с нулевой вещественной частью), то центрального многообразия у неё нет. В этом случае, согласно теореме Гробмана-Хартмана, векторное поле орбитально-топологически эквивалентно своей линеаризации, то есть с топологической точки зрения динамика нелинейной системы полностью определяется линеаризацией. В случае негиперболической особой точки топология фазового потока определяется линейной частью и ограничением потока на центральное многообразие. Это утверждение, называемое принципом сведения, формулируется следующим образом: [9]

Теорема (А. Н. Шошитайшвили, 1975[10]). Нелинейная системы в окрестности негиперболической особой точки орбитально-топологически эквивалентна произведению стандартного седла и ограничению поля на центральное многообразие:

\begin{cases}
\dot x=w(x)\\
\dot y=-y\\
\dot z=z,
\end{cases}\quad x\in W^c,\ y\in T^s,\ z\in T^u

Сноски

  1. Д. Ван, Ч. Ли, Ш.-Н. Чоу. Нормальные формы и бифуркации векторных полей на плоскости. — М.: МЦНМО, 2005. — 416 с. — ISBN 5-94057-206-5, c. 13
  2. Ильяшенко Ю.С., Вейгу Л. Нелокальные бифуркации. — М.: МЦНМО-ЧеРо, 1999. — 416 с. — ISBN 5-900916-34-0, глава 1, п. 2.3
  3. Ильяшенко Ю.С., Вейгу Л. Нелокальные бифуркации. — М.: МЦНМО-ЧеРо, 1999. — 416 с. — ISBN 5-900916-34-0, глава 1, пункт 2.2
  4. Д. Ван, Ч. Ли, Ш.-Н. Чоу. Нормальные формы и бифуркации векторных полей на плоскости. — М.: МЦНМО, 2005. — С. 37. — 416 с. — ISBN 5-94057-206-5
  5. Д. Ван, Ч. Ли, Ш.-Н. Чоу. Нормальные формы и бифуркации векторных полей на плоскости. — М.: МЦНМО, 2005. — С. 14. — 416 с. — ISBN 5-94057-206-5
  6. 1 2 Д. Ван, Ч. Ли, Ш.-Н. Чоу. Нормальные формы и бифуркации векторных полей на плоскости. — М.: МЦНМО, 2005. — С. 16. — 416 с. — ISBN 5-94057-206-5
  7. Д. Ван, Ч. Ли, Ш.-Н. Чоу. Нормальные формы и бифуркации векторных полей на плоскости. — М.: МЦНМО, 2005. — С. 36. — 416 с. — ISBN 5-94057-206-5
  8. Д. Ван, Ч. Ли, Ш.-Н. Чоу. Нормальные формы и бифуркации векторных полей на плоскости. — М.: МЦНМО, 2005. — С. 38. — 416 с. — ISBN 5-94057-206-5
  9. Ильяшенко Ю.С., Вейгу Л. Нелокальные бифуркации. — М.: МЦНМО-ЧеРо, 1999. — 416 с. — ISBN 5-900916-34-0, см. также Д. Ван, Ч. Ли, Ш.-Н. Чоу. Нормальные формы и бифуркации векторных полей на плоскости. — М.: МЦНМО, 2005. — С. 406. — 416 с. — ISBN 5-94057-206-5
  10. Шошитайшвили А. Н. Бифуркации топологического типа векторного поля вблизи особой точки. // Тр. семинаров им. И. Г. Петровского. — 1975. — № вып 1.. — С. 279—309.

Wikimedia Foundation. 2010.

Поможем написать курсовую

Полезное


Смотреть что такое "Центральное многообразие" в других словарях:

  • Динамическая система — Фазовая диаграмма странного аттрактора Лоренца популярный пример нелинейной динамической системы. Изучением подобных систем занимается тео …   Википедия

  • Динамические системы — Динамическая система  математическая абстракция, предназначенная для описания и изучения систем, эволюционирующих с течением времени. Примером могут служить механические системы (движущиеся группы тел) или физические процессы. Содержание 1… …   Википедия

  • Фазовый поток — Динамическая система  математическая абстракция, предназначенная для описания и изучения систем, эволюционирующих с течением времени. Примером могут служить механические системы (движущиеся группы тел) или физические процессы. Содержание 1… …   Википедия

  • Русская литература — I.ВВЕДЕНИЕ II.РУССКАЯ УСТНАЯ ПОЭЗИЯ А.Периодизация истории устной поэзии Б.Развитие старинной устной поэзии 1.Древнейшие истоки устной поэзии. Устнопоэтическое творчество древней Руси с X до середины XVIв. 2.Устная поэзия с середины XVI до конца… …   Литературная энциклопедия

  • СССР. Литература и искусство —         Литература          Многонациональная советская литература представляет собой качественно новый этап развития литературы. Как определённое художественное целое, объединённое единой социально идеологической направленностью, общностью… …   Большая советская энциклопедия

  • Российская Советская Федеративная Социалистическая Республика —         РСФСР.          I. Общие сведения РСФСР образована 25 октября (7 ноября) 1917. Граничит на С. З. с Норвегией и Финляндией, на З. с Польшей, на Ю. В. с Китаем, МНР и КНДР, а также с союзными республиками, входящими в состав СССР: на З. с… …   Большая советская энциклопедия

  • ЖИЗНЬ — Иисус Христос Спаситель и Жизнеподатель. Икона. 1394 г. (Художественная галерея, Скопье) Иисус Христос Спаситель и Жизнеподатель. Икона. 1394 г. (Художественная галерея, Скопье) [греч. βίος, ζωή; лат. vita], христ. богословие в учении о Ж.… …   Православная энциклопедия

  • КОГЕН — (Cohen) Герман (1842 1918) немецкий философ, основатель и виднейший представитель марбургской школы неокантианства. Основные работы: ‘Теория опыта Канта’ (1885), ‘Обоснование Кантом этики’ (1877), ‘Обоснование Кантом эстетики’ (1889), ‘Логика… …   История Философии: Энциклопедия

  • Российская Советская Федеративная Социалистическая Республика, РСФСР (народное образование и культурно-просветительные учреждения) — VIII. Народное образование и культурно просветительные учреждения = История народного образования на территории РСФСР уходит в глубокую древность. В Киевской Руси элементарная грамотность была распространена среди разных слоев населения, о чём… …   Большая советская энциклопедия

  • ДУША — [греч. ψυχή], вместе с телом образует состав человека (см. статьи Дихотомизм, Антропология), будучи при этом самостоятельным началом; Д. человека заключает образ Божий (по мнению одних отцов Церкви; по мнению других образ Божий заключен во всем… …   Православная энциклопедия


Поделиться ссылкой на выделенное

Прямая ссылка:
Нажмите правой клавишей мыши и выберите «Копировать ссылку»