- Уравнение Эйлера
-
Уравне́ния Э́йлера — Лагра́нжа (в физике также уравнения Лагранжа — Эйлера или уравнения Лагранжа) являются основными формулами вариационного исчисления, c помощью которых ищутся стационарные точки и экстремумы функционалов. В частности, эти уравнения широко используются в задачах оптимизации, и, совместно с принципом наименьшего действия, используются для вычисления траекторий в механике. В теоретической физике вообще это (классические) уравнения движения в контексте получения их из написанного явно выражения для действия (лагранжиана).
Использование уравнений Эйлера — Лагранжа для нахождения экстремума функционала в некотором смысле аналогично использованию теоремы дифференциального исчисления, утверждающей, что лишь в точке, где первая производная функции обращается в нуль, гладкая функция может иметь экстремум (в случае векторного аргумента приравнивается нулю градиент функции, то есть производная по векторному аргументу). Точнее говоря, это прямое обобщение соответствующей формулы на случай функционалов — функций бесконечномерного аргумента.
Уравнения были получены Леонардом Эйлером и Жозефом-Луи Лагранжем в 1750-х годах.
Содержание
Утверждение
Пусть задан функционал
с подынтегральной функцией
, обладающей непрерывными первыми частными производными и называемой функцией Лагранжа или лагранжианом, где через f' обозначена первая производная f по x. Если этот функционал достигает экстремума на некоторой функции
, то для неё должно выполняться обыкновенное дифференциальное уравнение
которое называется уравнением Эйлера — Лагранжа.
Примеры
Рассмотрим стандартный пример: найти кратчайший путь между двумя точками плоскости. Ответом, очевидно, является отрезок, соединяющий эти точки. Попробуем получить его с помощью уравнения Эйлера — Лагранжа. Пусть точки, которые надо соединить, имеют координаты
и
. Тогда длина пути
, соединяющего эти точки, может быть записана следующим образом:
Уравнение Эйлера — Лагранжа для этого функционала принимает вид:
откуда получаем, что
Таким образом, получаем прямую линию. Учитывая, что
,
, т. е. что она проходит через исходные точки, получаем верный ответ: отрезок, соединяющий точки.
Многомерные вариации
Существует также множество многомерных вариантов уравнений Эйлера — Лагранжа.
- Если
— путь в
-мерном пространстве, то он доставляет экстремум функционалу
только если удовлетворяет условию
В физических приложениях когда
является лагранжианом (имеется в виду лагранжиан некоторой физической системы; то есть если J — действие для этой системы), эти уравнения — суть (классические) уравнения движения такой системы. Это утверждение может быть прямо обобщено и на случай бесконечномерного q.
- Другое многомерное обобщение получается при рассмотрении функции
переменных. Если
— какая-либо, в данном случае n-мерная, поверхность, то
где
— независимые координаты,
,
,
доставляет экстремум если только
удовлетворяет уравнению в частных производных
Если
и
— функционал энергии, то эта задача называется «минимизацией поверхности мыльной плёнки».
- Очевидная комбинация двух описанных выше случаев используется для получения уравнений движения распределенных систем, таких как физические поля, колеблющиеся струны или мембраны и т.п.
В частности, вместо статического уравнения равновесия мыльной пленки, приведенного в качестве примера в предыдущем пункте, имеем в этом случае динамическое уравнение движения такой пленки (если, конечно, нам удалось изначально записать для нее действие, то есть кинетическую и потенциальную энергию).
История
Уравнение Эйлера — Лагранжа было получено в 1750-х годах Эйлером и Лагранжем при решении задачи об изохроне. Это проблема определения кривой, по которой тяжёлая частица попадает в фиксированную точку за фиксированное время, независимо от начальной точки.
Лагранж решил эту задачу в 1755 году и отослал решение Эйлеру. Развитый впоследствии метод Лагранжа и применение его в механике привело к формулировке лагранжевой механики. Переписка учёных привела к созданию вариационного исчисления (термин придумал Эйлер в 1766 году).
Доказательство
Вывод одномерного уравнения Эйлера — Лагранжа является одним из классических доказательств в математике. Оно основывается на основной лемме вариационного исчисления.
Мы хотим найти такую функцию
, которая удовлетворяет граничным условиям
,
и доставляет экстремум функционалу
Предположим, что
имеет непрерывные первые производные. Достаточно и более слабых условий, но доказательство для общего случая более сложно.
Если
даёт экстремум функционалу и удовлетворяет граничным условиям, то любое слабое возмущение
, которое сохраняет граничные условия, должно увеличивать значение
(если
минимизирует его) или уменьшать
(если
максимизирует).
Пусть
— любая дифференцируемая функция, удовлетворяющая условию
. Определим
Поскольку
даёт экстремум для
, то
, то есть
Интегрируя по частям второе слагаемое, находим, что
Используя граничные условия на
, получим
Отсюда, так как
— любая, следует уравнение Эйлера — Лагранжа:
Обобщение на случай с высшими производными
Лагранжиан может также зависеть и от производных
порядка выше, чем первый.
Пусть функционал, экстремум которого нужно найти, задан в виде:
Если наложить граничные условия на
и на её производные до порядка
включительно, а также предположить, что
имеет непрерывные первые производные, то можно, применяя интегрирование по частям несколько раз, вывести аналог уравнения Эйлера-Лагранжа и для этого случая:
Это уравнение часто называют уравнением Эйлера — Пуассона.
См. также
Литература
- Алексеев В. М., Тихомиров В. М., Фомин С. В. Оптимальное управление. — М.: Наука, 1979
- Дубровин Б. А., Новиков С. П., Фоменко А. Т. Современная геометрия: Методы и приложения. — М.: Наука, 1979
- Эльсгольц Л. Э. Дифференциальные уравнения и вариационное исчисление. — М.: Наука, 1969.
- Зеликин М. И. Однородные пространства и уравнение Риккати в вариационном исчислении, — Факториал, Москва, 1998.
- Зеликин М. И. Оптимальное управление и вариационное исчисление, — УРСС, Москва, 2004.
Ссылки
- Weisstein, Eric W. Euler-Lagrange (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.
- Calculus of Variations (англ.) на сайте PlanetMath.
- Summary with some historical information
- Examples — задачи из вариационного исчисления.
Категории:- Динамические системы
- Вариационное исчисление
- Дифференциальные уравнения в частных производных
- Физические законы и уравнения
- Теоретическая механика
Wikimedia Foundation. 2010.