Ортонормированная система функций

Ортонормированная система функций

Ортонорми́рованная система элементов линейного пространства со скалярным произведением — частный случай ортогональной системы, когда каждый элемент системы имеет единичную длину (в смысле расстояния, индуцируемого скалярным произведением).

Для любых элементов этой системы \varphi_i, \varphi_j скалярное произведение (\varphi_i, \varphi_j) = \delta_{ij}, где δijсимвол Кронекера.

Ортонормированная система в случае её полноты может быть использована в качестве базиса пространства. При этом разложение любого элемента \vec a может быть вычислено по формулам: \vec a = \sum_{k} \alpha_i \varphi_i, где \alpha_i = (\vec a, \varphi_i).

Примеры

  • Функции \varphi_1(t), \varphi_2(t),...,\varphi_n(t) образуют ортонормированную систему функций на конечном интервале [a,b] , если для них выполняется условие
    \int\limits_{a}^{b}\!\varphi_i(t)\varphi_j(t)\,dt =\left\{\begin{matrix} 1, & i = j \\ 0, & i \neq j  \end{matrix}\right.  = \delta_{ij}.

См. также


Wikimedia Foundation. 2010.

Игры ⚽ Нужно сделать НИР?

Полезное


Смотреть что такое "Ортонормированная система функций" в других словарях:

  • ПОЛНАЯ СИСТЕМА ФУНКЦИЙ — ортонормированная система функций {j(х)}нек рого гильбертова пространства Нтакая, что в H не существует функции, ортогональной всем функциям данного семейства. Система функций, полная в одном пространстве, может оказаться неполной в другом. Напр …   Математическая энциклопедия

  • ОРТОНОРМИРОВАННАЯ СИСТЕМА ВЕКТОРОВ — множество ненулевых векторов векторного пространства X со скалярным произведением , где символы Кронекера = 0 при и = 1 при …   Физическая энциклопедия

  • ОРТОНОРМИРОВАННАЯ СИСТЕМА — 1) О. с. векторов множество ненулевых векторов евклидова (гильбертова) пространства со скалярным произведением (. , .) такое, что при (ортогональность) и (нормируемость). М. И. Войцеховский. 2) О. с. ф у н к ц и и система функций пространства… …   Математическая энциклопедия

  • Ортонормированная система — Ортонормированная система  ортогональная система, у которой каждый элемент системы имеет единичную норму. Определение Для любых элементов этой системы скалярное произведение , где   символ Кронекера. Ортонормированная система в случае… …   Википедия

  • ЛАКУНАРНАЯ СИСТЕМА — порядка р>2, Sp система, ортонормированная система функций пространства Lp такая, что если ряд сходится в пространстве L2, то его сумма принадлежит классу Lp. Если система функций есть S р система при любом р>2, то она наз. системой. С.… …   Математическая энциклопедия

  • ОРТОГОНАЛЬНАЯ СИСТЕМА — 1) О …   Математическая энциклопедия

  • ЗАМКНУТАЯ СИСТЕМА — элементов, замкнутая система функций, система элементов jn некоторого линейного нормированного пространства Нтакая, что любой элемент можно сколь угодно точно приблизить в метрике пространства Нконечной линейной комбинацией элементов из этой… …   Математическая энциклопедия

  • РАДЕМАХЕРА СИСТЕМА — ортонормированная на отрезке [0,1] система . Введена X. Радемахером [1]. Функции можно определить равенствами , ... Другое определение функций Радемахера получается путем рассмотрения двоичных разложений чисел отрезка [0,1]: если в двоичном… …   Математическая энциклопедия

  • ОРТОГОНАЛЬНЫЙ РЯД — ряд вида где ортонормированная система функций (онс) относительно меры : Начиная с 18 в. при изучении различных вопросов математики, астрономии, механики и физики (движение планет, колебание струн, мембран и др.) в исследованиях Л. Эйлера (L.… …   Математическая энциклопедия

  • ХАУСДОРФА - ЮНГА НЕРАВЕНСТВА — оценки коэффициентов Фурье функций из L р;установлены У. Юнгом [1] и Ф. Хаусдорфом [2]. Пусть ортонормированная система функций на [ а, b], для всех и всех n = 1, 2, ... и Если то где с n (f) коэффициенты Фурье функции f. Если то существует такая …   Математическая энциклопедия


Поделиться ссылкой на выделенное

Прямая ссылка:
Нажмите правой клавишей мыши и выберите «Копировать ссылку»