РАДЕМАХЕРА СИСТЕМА

РАДЕМАХЕРА СИСТЕМА

- ортонормированная на отрезке [0,1] система . Введена X. Радемахером [1]. Функции можно определить равенствами

, ...

Другое определение функций Радемахера получается путем рассмотрения двоичных разложений чисел отрезка [0,1]: если в двоичном разложении числа хна k-м месте стоит цифра 0, то полагают , если же на k-м месте стоит 1, то ; в случае же, когда x=0 или число хдопускает два разложения, полагают . Согласно этому определению отрезок [0,1] распадается на равных подинтервала, в каждом из которых функция принимает попеременно значения +1 и -1, а на концах подинтервалов

Система представляет типичный пример стохастически независимых функций и имеет применения как в теории вероятностей, так и в теории ортогональных рядов.

Одно из важных свойств Р. с. устанавливается теоремой Радемахера: если , то ряд сходится почти всюду на [0,1], и теоремой Хинчина-Колмогорова: если , то ряд расходится почти всюду на [0,1].

Так как функции Радемахера в двоично иррациональных точках интервала [0,1] принимают лишь значения ±1, то рассмотрение ряда означает, что у членов ряда выбирается распределение знаков ±1, зависящее от точки х. Если x=0, a1 a2. . . an . . .- представление числа в виде бесконечной двоичной дроби, то при an=0 перед с п ставится знак + и при an=1 ставится знак - .

Вышеприведенные теоремы в терминах теории вероятностей означают, что если , то ряд сходится для почти всех распределений знаков (сходится с вероятностью 1), и если , то ряд расходится для почти всех распределений знаков (расходится с вероятностью 1).

Наоборот, ряд теорем теории вероятностей можно сформулировать в терминах функций Радемахера. Напр., теорема Кантелли о том, что при игре "в герб и решетку" со ставкой 1 средний выигрыш с вероятностью 1 стремится к нулю, означает, что почти всюду на [0,1] выполняется равенство


Лит.:[l] Rademacher H., "Math. Ann.", 1922, Bd 87, S. 112-38;[2] К а ч м а ж С., Ill т е и н г а у з Г., Теория ортогональных рядов, пер. с нем., М., 1958; [3] АлексичГ., Проблемы сходимости ортогональных рядов, пер. с англ., М., 1963; [4] К а ц М., Статистическая независимость в теории вероятностей, анализе и теории чисел, пер. с англ., М., 1963.

А. А. Талалян.


Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия. . 1977—1985.

Игры ⚽ Поможем сделать НИР

Полезное


Смотреть что такое "РАДЕМАХЕРА СИСТЕМА" в других словарях:

  • НЕЗАВИСИМЫХ ФУНКЦИЙ СИСТЕМА — последовательность измеримых функций таких, что для любого пи любых Наиболее простой пример Н. ф. с. Радемахера система. Критерий (Колмогорова) сходимости почти всюду ряда Н. ф. с: для того чтобы ряд сходился почти всюду, необходимо и достаточно …   Математическая энциклопедия

  • Функция Радемахера — Графики функций Радемахера с Функция Радемахера  кусочно постоянная периодическая функция, принимающая только два значения 1 и −1 на всей обл …   Википедия

  • ОРТОГОНАЛЬНАЯ СИСТЕМА — 1) О …   Математическая энциклопедия

  • УОЛША СИСТЕМА — функций {Wn(x)} на отрезке [0, 1] функции и при где k=0,1, 2, . . ., функции Радемахера, v1>v2>...>vm>0 двоичное представление числа Эта система была определена и исследована Дж. Уолтом [1], хотя еще в 1900 году Баррет использовал функции этой… …   Математическая энциклопедия

  • МЕНЬШОВА - РАДЕМАХЕРА ТЕОРЕМА — теорема о сходимости ортогональных рядов почти всюду: если система функций ортонормирована на отрезке , то при условии ряд сходится почти всюду на [а, b]. Эта теорема доказана независимо Д. Е. Меньшовым [1] и X. Радомахером [2]. Д. Е. Меньшов… …   Математическая энциклопедия

  • Томография — (др. греч. τομή  сечение)  метод неразрушающего послойного исследования внутренней структуры объекта посредством его многократного просвечивания в различных пересекающихся направлениях. Содержание 1 Терминологические вопросы …   Википедия

  • ХИНЧИНА НЕРАВЕНСТВО — для независимых функций оценка в Lp суммы независимых функций. Пусть fk система независимых функций и для нек рого р> 2 Тогда Если функции Радемахера и то для любого р>0 где при Это неравенство было установлено А. Я. Хинчиным [1]. Точное значение …   Математическая энциклопедия


Поделиться ссылкой на выделенное

Прямая ссылка:
… Нажмите правой клавишей мыши и выберите «Копировать ссылку»