ОРТОГОНАЛЬНАЯ СИСТЕМА

ОРТОГОНАЛЬНАЯ СИСТЕМА

- 1) О. <с векто ров - множество {xa} ненулевых векторов евклидова (гильбертова) пространства со скалярным произведением такое, что (xa, xab)=0 при . Если при этом норма каждого вектора равна единице, то система {xa} наз. ортонормированной. Полная О. с. {xa} наз. ортогональным (ортонормированным) базисом. М. И. Войцеховский.

2) О. с. координат - система координат, и к-рой координатные линии (или поверхности) пересекаются под прямым углом. О. с. координат существуют в любом евклидовом пространстве, но, вообще говоря, не существуют в произвольном пространстве. В двумерном гладком аффинном пространстве О. с. всегда можно ввести по крайней мере в достаточно малой окрестности каждой точки. Иногда возможно введение О. с. координат в делом. В О. с. метрич. тензор gij диагоналей; диагональные компоненты gii принято наз. коэффициентами Ламе. Ламе коэффициент О. с. в пространстве выражаются формулами


где x, у и z - декартовы прямоугольные координаты. Через коэффициенты Ламе выражаются элемент длины:


элемент площади поверхности:


элемент объема:


векторные дифференциальные операции:


Наиболее часто используемые О. с. координат: на плоскости - декартовы, полярные, эллиптические, параболические; в пространстве - сферические, цилиндрические, параболоидальные, бицилиндрические, биполярные. Д. Д. Соколов.

3) О. с. функций - конечная или счетная система {ji(x)} функций, принадлежащих пространству

L2(X, S,m) и удовлетворяющих условиям


Если li=1 для всех i, то система наз. ортонормированной. При этом предполагается, что мера m(x), определенная на s-алгебре Sподмножеств множества X, счетно аддитивна, полна и имеет счетную базу. Это определение О. с. включает все рассматриваемые в современном анализе О. с.; они получаются при различных конкретных реализациях пространства с мерой (X, S,m).

Наибольший интерес представляют полные ортонормированные системы {jn(x)}, обладающие тем свойством, что для любой функции существует единственный ряд , сходящийся к f(x) в метрике пространства L2(X, S,m), при этом коэффициенты с п определяются формулами Фурье


Такие системы существуют в силу сепарабельности пространства L2(X, S,m). Универсальный способ построения полных ортонормированных систем дает метод ортогонализации Шмидта. Для этого достаточно применить его к нек-рой полной L2(S, X,m) системе линейно независимых функций.

В теории ортогональных рядов в основном рассматриваются О. с. пространЛва L2[a, b](тот частный случай, когда Х=[ а, b], S - система множеств, измеримых по Лебегу, и m - мера Лебега). Многие теоремы о сходимости или суммируемости рядов , , по общим О. с. {jn(x)} пространства L2[a, b]верны и для рядов по ортонормированным системам пространства L2(X, S,m). Вместе с тем в этом частном случае построены интересные конкретные О. с., обладающие теми или иными хорошими свойствами. Таковы, например, системы Хаара, Радемахера, Уолша-Пэли, Франклина.

1) Система Хаара


где m=2n+k, , т=2,3, ... . Ряды по системе Хаара представляют типичный пример мартингалов и для них верны общие теоремы из теории мартингалов. Кроме того, система является базисом в Lp[0,1], , и ряд Фурье по системе Хаара любой интегрируемой функции почти всюду сходится.

2) Система Радемахера


представляет собой важный пример О. с. независимых функций и имеет применения как в теории вероятностей, так н в теории ортогональных и общих функциональных рядов.

3) Система Уолша - Пэли определяется через функции Радемахера:


где числа ти qk определяются из двоичного разложения числа п:


4) Система Франклина получается ортогонализацией методом Шмидта последовательности функций


Она является примером ортогонального базиса пространства С[0, 1] непрерывных функций.

В теории кратных ортогональных рядов рассматриваются системы функций вида


где - ортонормированная система в L2[a, b]. Такие системы ортонормированы на m-мерном кубе Jm =[a, b]x . ..x[ а, b] и полны, если полна система {jn(x)}

Лит.:[l] Качмаж С., Штейнгауз Г., Теория ортогональных рядов, пер. с нем., М., 1958; [2] Итоги науки. Математический анализ, 1970, М., 1971, с. 109-46; [3] там же, с. 147- 202; [4] Дуб Д ж., Вероятностные процессы, пер. с англ., М., 1956; [5] Лоэв М., Теория вероятностей, пер. с англ., М., 1962; [6] Зигмунд А., Тригонометрические ряды, пер. с англ., т. 1-2, М., 1965. А. А. Талалян.



Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия. . 1977—1985.

Нужны ответы на билеты?

Смотреть что такое "ОРТОГОНАЛЬНАЯ СИСТЕМА" в других словарях:

  • Ортогональная система — элементов векторного пространства со скалярным произведением  такое подмножество векторов , что любые различные два из них ортогональны, то есть их скалярное произведение равно нулю: . Ортогональная система в случае её полноты может быть… …   Википедия

  • ОРТОГОНАЛЬНАЯ СИСТЕМА ФУНКЦИЙ — (отгреч. orthogonios прямоугольный) конечная или счётная система ф ций , принадлежащих (сепара бельному) гильбертову пространству L2(a,b )(квадратично интегрируемых ф ций) и удовлетворяющих условиям Ф ция g(x )наз. весом О. с. ф.,* означает… …   Физическая энциклопедия

  • ОРТОГОНАЛЬНАЯ СИСТЕМА ФУНКЦИЙ — система функций ??n(х)?, n=1, 2,..., заданных на отрезке ОРТОГОНАЛЬНОЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЕ линейное преобразование евклидова векторного пространства, сохраняющее неизменными длины или (что эквивалентно этому) скалярные произведения векторов …   Большой Энциклопедический словарь

  • ортогональная система функций — система функций {φn(х)}, n = 1, 2, ..., заданных на отрезке [а, b] и удовлетворяющих следующему условию ортогональности: при k≠l, где ρ(х)  некоторая функция, называемая весом. Например, тригонометрическая система 1, sin х, cos х, sin 2х,… …   Энциклопедический словарь

  • ОРТОГОНАЛЬНАЯ СИСТЕМА ФУНКЦИЙ — система ф ций {(фn(х)}, п=1, 2, ..., заданных на отрезке [а, b] и удовлетворяющих след, условию ортогональности при k не равно l, где р(х) нек рая ф ция, наз. весом. Напр., тригонометрич. система 1, sin х, cosх, sin 2х, cos 2x,... О.с.ф. с весом… …   Естествознание. Энциклопедический словарь

  • Ортогональная система функций —         система функций {(φn (x)}, n = 1, 2,..., ортогональных с весом ρ (х) на отрезке [а, b], т. е. таких, что                   Примеры. Тригонометрическая система 1, cos nx, sin nx; n = 1, 2,..., О. с. ф. с весом 1 на отрезке [ π, π]. Бесселя …   Большая советская энциклопедия

  • Ортогональная система координат — Ортогональными называются координаты в которых метрический тензор имеет диагональный вид. где d В ортогональных системах координат q = (q1, q², …, qd) координатные поверхности ортогональны друг другу. В частности, в декартовой системе координат… …   Википедия

  • ортогональная многоканальная система — — [Л.Г.Суменко. Англо русский словарь по информационным технологиям. М.: ГП ЦНИИС, 2003.] Тематики информационные технологии в целом EN ortogonal multiplex …   Справочник технического переводчика

  • система координат (фотограмметрического) снимка — Правая ортогональная пространственная система координат, фиксируемая на фотограмметрическом снимке изображениями координатных меток. [ГОСТ Р 51833 2001] Тематики фотограмметрия …   Справочник технического переводчика

  • система — 4.48 система (system): Комбинация взаимодействующих элементов, организованных для достижения одной или нескольких поставленных целей. Примечание 1 Система может рассматриваться как продукт или предоставляемые им услуги. Примечание 2 На практике… …   Словарь-справочник терминов нормативно-технической документации


Поделиться ссылкой на выделенное

Прямая ссылка:
Нажмите правой клавишей мыши и выберите «Копировать ссылку»