- Приближенное дифференцирование
-
Приближенное дифференцирование
Постановка задачи приближенного дифференцирования.
При решении практических задач часто нужно найти производные указанных порядков от функции y = f(x), заданной таблично, кроме того, возможно также, что в силу сложности аналитического выражения функции f(x) непосредственное дифференцирование ее затруднительно. В этих случаях обычно прибегают к приближенному дифференцированию.
Файл:Http://pixs.ru/showimage/NewBitmapI 9755888 404126.jpgДля вывода формул приближенного дифференцирования заменяют данную функцию f(x) на интересующем отрезке [a,b] интерполирующей функцией P(x) (чаще всего полиномом), а затем полагают:
,
при: .
Аналогично поступают при нахождении производных высших порядков функции f(x).
Если для интерполирующей функции P(x) известна погрешность:
,
то погрешность производной P'(x) выражается формулой:
т. е. погрешность производной интерполирующей функции равна производной от погрешности этой функции. То же самое справедливо и для производных высших порядков.
Следует отметить, что, вообще говоря, приближенное дифференцирование представляет собой операцию менее точную, чем интерполирование. Действительно, близость друг к другу ординат двух кривых
и
на отрезке [a,b] еще не гарантирует близости на этом отрезке их производных
и
, т. е. малого расхождения угловых коэффициентов касательных к рассматриваемым кривым при одинаковых значениях аргумента.
Формулы приближенного дифференцирования, основанные на первой интерполяционной формуле Ньютона
Пусть имеем функцию
, заданную в равноотстоящих точках
отрезка
с помощью значений
.
Для нахождения на
производных
,
и т. д.[1] функцию
приближенно заменим интерполяционным полиномом Ньютона, построенным для системы узлов
.
Имеем:
где
и
.
Производя перемножение биномов, получим:
Так как
[2]
то
Аналогично, так как
то
Таким же способом можно вычислить производные функции
любого порядка
При нахождении производных
в фиксированной точке
в качестве
выбирают ближайшие табличные значения аргумента.
В том случае, если необходимо найти производные функции
в основных табличных точках
, то полагают
, следовательно
и получают:
Формулы
применяют, для начальных строк таблицы. Для последних строк таблицы используют формулы получающиеся при дифференцировании второй интерполяционной формулы Ньютона
Если
- интерполяционный полином Ньютона, содержащий разности
и
Известно что:
где ξ - некоторое промежуточное значение между узлами интерполирования
и рассматриваемой точной
. Поэтому, полагая, что
, получим:
Отсюда при
и, следовательно, при
и учитывая, что
? ,будем иметь:
.
Так как
во многих случаях трудно оценить, то при <\math>\ h</math> малом приближенно полагают:
и, следовательно,
.
Аналогично может быть найдена погрешность
для второй производной
- 1. ↑ 1 Cамо собой разумеется, что заранее должно быть известно о существовании соответствующих производных функции.
- 2. ↑ 2 Производная сложной функции
Примеры нахождения производных по первой интерполяционной формуле Ньютона
Пример 1.Найти
функции
, заданной таблично
x y Δy Δ2y Δ3y Решение. Здесь h = 5. Дополняем таблицу столбцами конечных разностей. Используя первую строчку таблицы, на основании формулы (4) с точностью до разностей третьего порядка, будим иметь:
.
Для оценки точности найденного значения заметим, что так как табулированная выше функция есть
, то
.
Следовательно,
.
Таким образом результаты совпадают с точностью до четвертого десятичного знака.
Пример 2. Путь y = f(t), пройденный прямолинейно движущейся точкой за время t, дается в следующей таблице:
Время в сек.
Путь в см
Используя конечные разности до пятого порядка включительно, приближенно найти скорость
и ускорение
точки для моментов
Решение. Составим таблицу разностей:
Полагая что
и применяя формулы
и
, получаем приближенные значения велечины скорости
и велечины ускорения
. Например,
.
.
Cоответствующие значения
и
помещены в следующией таблице:
Заметим, что табулированны закон движения дается формулой
Отсюда
и
Для сравнения точные значения
и
приведены в правой половине таблицы.
Wikimedia Foundation. 2010.