Приближенное дифференцирование

Приближенное дифференцирование

Приближенное дифференцирование

Постановка задачи приближенного дифференцирования.

При решении практических задач часто нужно найти производные указанных порядков от функции y = f(x), заданной таблично, кроме того, возможно также, что в силу сложности аналитического выражения функции f(x) непосредственное дифференцирование ее затруднительно. В этих случаях обычно прибегают к приближенному дифференцированию.

Файл:Http://pixs.ru/showimage/NewBitmapI 9755888 404126.jpg

Для вывода формул приближенного дифференцирования заменяют данную функцию f(x) на интересующем отрезке [a,b] интерполирующей функцией P(x) (чаще всего полиномом), а затем полагают:

\frac{df(x)}{dx} = P'(x),
при:

 a \le \ x \le \ b.

Аналогично поступают при нахождении производных высших порядков функции f(x).

Если для интерполирующей функции P(x) известна погрешность: \ R(x) = f(x) - P(x),

то погрешность производной P'(x) выражается формулой: r(x) = \frac{df(x)}{dx} - P'(x) = R'(x)

т. е. погрешность производной интерполирующей функции равна производной от погрешности этой функции. То же самое справедливо и для производных высших порядков.

Следует отметить, что, вообще говоря, приближенное дифференцирование представляет собой операцию менее точную, чем интерполирование. Действительно, близость друг к другу ординат двух кривых

\ y = f(x) и \ Y = P(x)

на отрезке [a,b] еще не гарантирует близости на этом отрезке их производных \frac{df(x)}{dx} и \frac{dP(x)}{dx}, т. е. малого расхождения угловых коэффициентов касательных к рассматриваемым кривым при одинаковых значениях аргумента.

Формулы приближенного дифференцирования, основанные на первой интерполяционной формуле Ньютона

Пусть имеем функцию \ y(x), заданную в равноотстоящих точках \ x_i (i=0, 1,2 ... n) отрезка \ [a,b] с помощью значений \ y_i = f(x_i) .

Для нахождения на \ [a,b] производных \ y' = f'(x), \ y' = f'(x) и т. д.[1] функцию \ y приближенно заменим интерполяционным полиномом Ньютона, построенным для системы узлов \ x_0, x_1, ... x_k (k \le n).

Имеем:

\ y(x) = y_0 \ + \ q\Delta y_0 \ + \ \frac{q(q-1)}{2!}\Delta^2 y_0 \ +  \ \frac{q(q-1)(q-2)}{3!}\Delta^3 y_0 \ + \ \frac{q(q-1)(q-2)(q-3)}{4!}\Delta^4 y_0 \ + \ ..., \quad (1)

где \ q = \frac{x - x_0}{h} и \ h = x_{i+1} - x_i \quad (i = 0,1, ...).

Производя перемножение биномов, получим:

\ y(x) = y_0 \ + \ q\Delta y_0 \ + \ \frac{q^2-q}{2}\Delta^2 y_0 \ +  \ \frac{q^3-3q^2+2q}{6}\Delta^3 y_0 \ + \ \frac{q^4-6q^3+11q^2-6q}{24}\Delta^4 y_0 \ + \ ..., \quad (1')

Так как \frac{dy}{dx} \ = \ \frac{dy}{dq} \cdot \frac{dq}{dx} [2] = \frac{dy}{dx} \ = \ \frac{1}{h}\frac{dy}{dq}

то

\ y'(x) =  \ \frac{1}{h} \Bigg[ y_0 \ + \ \frac{2q - 1}{2}\Delta^2 y_0 \ +  \ \frac{3q^2-6q+2}{6}\Delta^3 y_0 \ + \ \frac{2q^3-9q^2+11q-3}{12}\Delta^4 y_0 \ + \ ... \Bigg]. \quad (2)

Аналогично, так как y''(x) \ = \ \frac{d(y')}{dx}  \ = \ \frac{d(y')}{dq} \cdot \frac{dq}{dx} \ ,

то

\ y''(x) =  \ \frac{1}{h^2} \Bigg[ \Delta^2 y_0 \ +  \ (q - 1)\Delta^3 y_0 \ + \ \frac{6q^2-18q+11}{12}\Delta^4 y_0 \ + \ ... \Bigg]. \quad (3)

Таким же способом можно вычислить производные функции \ y(x) любого порядка

При нахождении производных \ y',y'', \ ... в фиксированной точке \ x в качестве \ x_0 выбирают ближайшие табличные значения аргумента.

В том случае, если необходимо найти производные функции \ y в основных табличных точках \ x_i , то полагают \ x = x_0 , следовательно \ q = 0 и получают:

\ y'(x) =  \ \frac{1}{h} \Bigg[ y_0 \ - \ \frac{ \Delta^2 y_0}{2} \ +  \ \frac{\Delta^3 y_0}{3} \ - \ \frac{ \Delta^4 y_0}{4} \ + \ \frac{\Delta^5 y_0}{5} \ - \ ... \Bigg]. \quad (4)

\ y''(x) =  \ \frac{1}{h^2} \Bigg[ \Delta^2 y_0 \ -  \ \Delta^3 y_0 \ + \ \frac{11}{12}\Delta^4 y_0 \ + \ \frac{5}{6}\Delta^5 y_0 \ + \ ... \Bigg]. \quad (5)

Формулы \ (2)-(5) применяют, для начальных строк таблицы. Для последних строк таблицы используют формулы получающиеся при дифференцировании второй интерполяционной формулы Ньютона

Если \ P_k(x) - интерполяционный полином Ньютона, содержащий разности \ \Delta y_0, \Delta^2 y_0, \ ..., \ \Delta^k y_0 и

\ R_k'(x) = y'(x) -  P_k'(x)

Известно что:

\ R_k(x) = \frac{(x-x_0)(x-x_1)...(x-x_k)}{(k+1)!}y^{(k+1)}(\xi) = h^{k+1} \frac{(q-1)...(q-k)}{(k+1)!}y^{(k+1)}(\xi)

где ξ - некоторое промежуточное значение между узлами интерполирования \ \ x_0, x_1, \ ..., \ x_k \ и рассматриваемой точной \ \ x. Поэтому, полагая, что \ y(x) \in C^{(k+2)} , получим:

\ R_k'(x) = \frac{dR_k}{dq} \cdot \frac{dq}{dx} = \frac{h^k}{(k+1)!}\Bigg\{ y^{(k+1)}(\xi)\frac{d}{dq}\big[q(q-1) \ ... \ (q-k)\big] \ + \ q(q-1)...(q-k)\frac{d}{dq}\big[ y{(k+1)}(\xi)\big] \Bigg\}

Отсюда при \ \ x = x_0 и, следовательно, при \ \ q = 0 и учитывая, что \  \frac{d}{dq}\big[q(q-1) \ ... \ (q-k)\big]_{q=0} = (-1)^kk!? ,будем иметь:

\ R_k'(x_0) = (-1)^k \frac{h^k}{k+1}y^{(k+1)}(\xi).

Так как \ y^{(k+1)}(\xi) \ . во многих случаях трудно оценить, то при <\math>\ h</math> малом приближенно полагают:

\ y^{(k+1)}(\xi) \ \approx \ \frac{\Delta^{k+1}y_0}{h^{k+1}}

и, следовательно,

\ R_k'(x_0) \ \approx \ \frac{(-1)^k}{h}\frac{\Delta^{k+1}y_0}{k+1}.

Аналогично может быть найдена погрешность \ \ R_k''(x_0) для второй производной \ \ y''(x_0)

1. ↑ 1 Cамо собой разумеется, что заранее должно быть известно о существовании соответствующих производных функции.
2. ↑ 2 Производная сложной функции

Примеры нахождения производных по первой интерполяционной формуле Ньютона

Пример 1.Найти \ y'(50) функции \ y = ln(x), заданной таблично

x y Δy Δ2y Δ3y
\ 50 \ 1,6990 \ 0,0414 \ -0,0036 \ 0,0005
\ 55 \ 1,7404 \ 0,0378 \ -0,0031
\ 60 \ 1,7782 \ 0,0347
\ 65 \ 1,8129

Решение. Здесь h = 5. Дополняем таблицу столбцами конечных разностей. Используя первую строчку таблицы, на основании формулы (4) с точностью до разностей третьего порядка, будим иметь:

\ y'(50)=\frac{1}{5}\big(0,0414+0,0018+0,0002\big)=0,0087.

Для оценки точности найденного значения заметим, что так как табулированная выше функция есть \ \ y = ln(x), то

\ y'_x =\frac{M}{x}=\frac{0,43429}{x}.

Следовательно,

\ y'(50) = \frac{0,43429}{50}=0,0087.

Таким образом результаты совпадают с точностью до четвертого десятичного знака.

Пример 2. Путь y = f(t), пройденный прямолинейно движущейся точкой за время t, дается в следующей таблице:

\ l Время \ t_i в сек. Путь \ y(t_i) в см
\ 0 \ 0,00 \ 0,000
\ 1 \ 0,01 \ 1,519
\ 2 \ 0,02 \ 6,031
\ 3 \ 0,03 \ 13,397
\ 4 \ 0,04 \ 23,396
\ 5 \ 0,05 \ 35,721
\ 6 \ 0,06 \ 50,000
\ 7 \ 0,07 \ 65,798
\ 8 \ 0,08 \ 82,635
\ 9 \ 0,09 \ 100,000

Используя конечные разности до пятого порядка включительно, приближенно найти скорость \ V = \frac{dy}{dt} и ускорение W = \frac{d^2y}{dt^2} точки для моментов \ t = 0;0,001;0,02;0,03;0,04

Решение. Составим таблицу разностей:

\ l \ \Delta y_i \ \Delta^2 y_i \ \Delta^3 y_i \ \Delta^4 y_i \ \Delta^5 y_i
\ 0 \ 1,519 \ 2,993 \ -0,139 \ -0,082 \ -0,004
\ 1 \ 4,512 \ 2,854 \ -0,221 \ -0,086 \ 0,021
\ 2 \ 7,366 \ 2,633 \ -0,307 \ -0,065 \ 0,002
\ 3 \ 9,999 \ 2,326 \ -0,372 \ -0,063 \ 0,018
\ 4 \ 12,325 \ 1,954 \ -0,435 \ -0,045 \ 0,014
\ 5 \ 14,279 \ 1,519 \ -0,480 \ -0,031
\ 6 \ 15,798 \ 1,039 \ -0,511
\ 7 \ 16,837 \ 0,528
\ 8 \ 17,365
\ 9

Полагая что \ h = 0, и применяя формулы \ (4) и \ (5), получаем приближенные значения велечины скорости \ V \ \bigg(\frac{cm}{c}\bigg) и велечины ускорения \ W \ \bigg( \frac{cm}{c^2} \bigg). Например,

\ V(0) = 100\big(1,519-1,496-0,046+0,020-0,001\big) = -0,4 \   \bigg(\frac{cm}{c} \bigg).

\ W(0) = 100000\big(2,993+0,139-0,075+0,003\big) = 30600 \ \bigg(\frac{cm}{c^2} \bigg).

Cоответствующие значения \ V и \ W помещены в следующией таблице:

\ t \ V \ W \ \bar V \ \bar W
\ 0,00 \ 0,4 \ 30600 \ 0,00 \ 30462
\ 0,01 \ 303,6 \ 29780 \ 303,08 \ 30001
\ 0,02 \ 596,3 \ 28780 \ 596,98 \ 28625
\ 0,03 \ 873,2 \ 26250 \ 872,66 \ 26381
\ 0,04 \ 1121,7 \ 23360 \ 1121,9 \ 23340

Заметим, что табулированны закон движения дается формулой

\ y = 100 \bigg( 1-\cos\frac{50\pi t}{9}\bigg)

Отсюда

\ V= \frac{dy}{dt} =  \frac{5000\pi}{9} \sin \frac{50\pi t}{9}

и

\ W= \frac{d^2y}{dt^2} = \frac{25000\pi}{81} \cos \frac{50\pi t}{9}

Для сравнения точные значения \ \bar V и \ \bar W приведены в правой половине таблицы.


Wikimedia Foundation. 2010.

Игры ⚽ Нужно сделать НИР?

Полезное


Смотреть что такое "Приближенное дифференцирование" в других словарях:

  • ИНТЕРПОЛИРОВАНИЕ — в вычислительной математике способ приближенного или точного нахождения какой либо величины по известным отдельным значениям этой же или других величин, связанных с ней. На основе И. построен ряд приближенных методов решения математич. задач.… …   Математическая энциклопедия

  • АДИАБАТИЧЕСКИЙ ИНВАРИАНТ — термин фи зич. происхождения с математически не вполне точным содержанием. Обычно А. и. определяются как количественные характеристики движения гамильтоновой системы, почти не изменяющиеся при адиабатическом (т. е. очень медленным по сравнению с… …   Математическая энциклопедия

  • ГЕОДЕЗИЯ — (греч. geodaisia, от ge Земля и daio делю, разделяю), наука об определении положения объектов на земной поверхности, о размерах, форме и гравитационном поле Земли и других планет. Это отрасль прикладной математики, тесно связанная с геометрией,… …   Энциклопедия Кольера

  • геодезия — наука, изучающая форму, размеры и гравитационное поле Земли, а также технические средства и методы измерений на местности. Геодезия зародилась в странах Древнего Востока и в Египте, где задолго до н. э. были известны методы измерения земельных… …   Географическая энциклопедия

  • ВОЛЬТЕРРА УРАВНЕНИЕ — интегральное уравнение вида (линейное интегральное В. у. I рода) или вида (линейное интегральное В. у. II род а). Здесь х, s, a действительные числа, (вообще говоря) комплексный параметр, неизвестная функция, заданные функции, суммируемые с… …   Математическая энциклопедия

  • ВЫЧИСЛИТЕЛЬНАЯ МАТЕМАТИКА — раздел математики, включающий круг вопросов, связанных с использованием ЭВМ. Содержание термина В. м. нельзя считать установившимся, так как эта область математики интенсивно развивается в связи с быстро растущими применениями ЭВМ в новых… …   Математическая энциклопедия


Поделиться ссылкой на выделенное

Прямая ссылка:
Нажмите правой клавишей мыши и выберите «Копировать ссылку»