Коэффициент зацепления

Коэффициент зацепления — целое или дробное число, сопоставляемое двум непересекающимся циклам $z^{k-1}$ и $z^{n-k}$ в ориентируемом многообразии $M$ размерности $n$, классы гомологий которых принадлежат подгруппам кручения в целочисленных гомологиях $H_{k-1}(M,\mathbb Z)$ и $H_{n-k}(M,\mathbb Z)$ соответственно.

Простейшим примером является коэффициент зацепления двух непересекающихся замкнутых кривых $L_1,\ L_2$ пространства $\mathbb R^3$, он равен степени отображения $\phi\colon L_1\times L_2\to S^2$ определяемого как

$\phi(x,y)=(y-x)/|y-x|,\ x\in L_1,\ y\in L_2$.

Коэффициент зацепления не изменяется при непрерывных деформациях кривых, если в течение этой деформации кривые не пересекаются — то есть является инвариантом этого зацепления. Если натянуть на одну кривую ориентированную поверхность, то индекс пересечения будет равен числу точек пересечения первой кривой с этой поверхностью взятых с соответствующими знаками.

Аналогично определяется коэффициент зацепления в случае замкнутых ориентированных многообразий $M^{k-1}$ и $M^{n-k}$, расположенных в пространстве $\mathbb R^n$.

В общем случае коэффициент зацепления определяется через индекс пересечения следующим образом:

Если $C^k$ есть $k$-мерная цепь для которой $\partial C^k=az^{k-1}$, и $b$ есть индекс пересечения $C^k$ с $z^{n-k}$, то индекс зацепления равен $b/a$. Это число не зависит от выбора плёнки $C^k$.

Свойства

• Если поменять ролями циклы $z^{k-1}$ и $z^{n-k}$, то коэффициент зацепления умножится на $(-1)^{k(n-k)}$.
• Если заменить любой из циклов на гомологичный ему в дополнении к другому, то коэффициент зацепления не изменится. Этот факт является основой при интерпретации двойственности Александера с помощью зацеплений.
• При замене одного из циклов на любой гомологичный с ним коэффициент зацепления изменяется на целое число, благодаря чему определено спаривание подгрупп кручения в $H_{k-1}(M, Z)$ и $H_{n-k}(M, Z)$ со значениями в факторгруппе $\mathbb Q/\mathbb Z$. Это спаривание устанавливает между ними двойственность Понтрягина.
  • В частности, для подгруппы кручения в $H_m(M,\mathbb Z)$ в случае $n=2m+l$ этим задаётся билинейная форма самозацеплений со значениями в $\mathbb Q/\mathbb Z$ которая является гомотопическим инвариантом многообразия.

Для улучшения этой статьи по математике желательно?: Найти и оформить в виде сносок ссылки на авторитетные источники, подтверждающие написанное.