- Собственные векторы
-
Собственные векторы, значения и пространства
Красным цветом обозначен собственный вектор. Он, в отличие от синего, при деформации не изменил направление и длину, поэтому является собственным вектором, соответствующим собственному значению λ = 1. Любой вектор, параллельный красному вектору, также будет собственным, соответствующим тому же собственному значению. Множество всех таких векторов (вместе с нулевым) образует собственное подпространство.Содержание
Определения собственного числа, собственного и корневого вектора линейного оператора
Пусть L — линейное пространство над полем K,
— линейное преобразование.
Собственным вектором линейного преобразования A называется такой ненулевой вектор
, что для некоторого
- Ax = λx
Собственным значением линейного преобразования A называется такое число
, для которого существует собственный вектор, то есть уравнение Ax = λx имеет ненулевое решение
.
Упрощённо говоря, собственный вектор - любой ненулевой вектор x, который отображается оператором в коллинеарный λx, а соответствующий скаляр λ называется собственным значением оператора.
Собственным подпространством линейного преобразования A для данного собственного числа
называется множество всех собственных векторов
, соответствующих данному собственному числу (дополненное нулевым вектором). Обозначим его Eλ. По определению,
где E — единичный оператор.
Корневым вектором линейного преобразования A для данного собственного значения
называется такой ненулевой вектор
, что для некоторого натурального числа m
Если m является наименьшим из таких натуральных чисел (то есть
), то m называется высотой корневого вектора x.
Корневым подпространством линейного преобразования A для данного собственного числа
называется множество всех корневых векторов
, соответствующих данному собственному числу (дополненное нулевым вектором). Обозначим его Vλ. По определению,
где
Свойства собственных значений, собственных и корневых векторов и пространств
Общий случай
Подпространство
называется инвариантным подпространством линейного преобразования A (A-инвариантным подпространством), если
.
- Собственные подпространства Eλ, корневые подпространства Vλ и подпространства Vm,λ линейного оператора A являются A-инвариантными.
- Собственные векторы являются корневыми (высоты 1):
;
- Корневые векторы могут не быть собственными: например, для преобразования двумерного пространства, заданного матрицей
- (A − 1λ)2 = 0, и все векторы являются корневыми, соответствующими собственному числу 1, но A имеет единственный собственный вектор (с точностью до умножения на число).
- Для разных собственных значений корневые (и, следовательно, собственные) подпространства имеют тривиальное (нулевое) пересечение:
если
.
Конечномерные линейные пространства
Выбрав базис в n-мерном линейном пространстве L, можно сопоставить линейному преобразованию
квадратную
матрицу и определить для неё характеристический многочлен
.
- Характеристический многочлен не зависит от базиса в L. Его коэффициенты являются инвариантами оператора A. В частности,
,
не зависят от выбора базиса.
- Собственные значения, и только они, являются корнями характеристического многочлена матрицы.
- Количество различных собственных значений не может превышать размер матрицы.
Пусть числовое поле алгебраически замкнуто (например, является полем комплексных чисел). Тогда характеристический многочлен разлагается в произведение n линейных множителей
- где
— собственные значения; некоторые из λi могут быть равны. Кратность собственного значения λi — это число множителей равных λ − λi в разложении характеристического многочлена на линейные множители (называется также алгебраическая кратность собственного значения).
- Размерность корневого пространства
равна кратности собственного значения.
- Векторное пространство L разлагается в прямую сумму корневых подпространств (по теореме о жордановой форме):
- где суммирование производится по всем λi — собственным числам A.
- Геометрическая кратность собственного значения λi — это размерность соответствующего собственного подпространства
; геометрическая кратность собственного значения не превосходит его кратности, поскольку
Гильбертовы пространства над полем комплексных чисел и нормальные операторы
Наличие скалярного произведения позволяет выделить важные классы операторов, собственные значения и собственные векторы которых обладают рядом дополнительных полезных свойств.
Нормальным оператором называется оператор A, коммутирующий со своим сопряжённым A * :
- AA * = A * A.
Частными классами нормальных операторов являются самосопряжённые (эрмитовы) операторы (A = A * ), антиэрмитовы операторы (A = − A * ) и унитарные операторы (A − 1 = A * ), а также их вещественные варианты: симметричные операторы, антисимметричные операторы и ортогональные преобразования.
- Все корневые векторы нормального оператора являются собственными.
- Собственные векторы нормального оператора A, соответствующие различным собственным значениям, ортогональны. То есть если Ax = λx, Ay = μy и
, то (x,y) = 0. (Для произвольного оператора это неверно.)
- Все собственные значения самосопряжённого оператора являются вещественными.
- Все собственные значения антиэрмитового оператора являются мнимыми.
- Все собственные значения унитарного оператора лежат на единичной окружности | λ | = 1.
- В конечномерном случае, сумма размерностей собственных подпространств нормального оператора
, соответствующих всем собственным значениям, равна размерности матрицы, а векторное пространство разлагается в ортогональную сумму собственных подпространств:
- где суммирование производится по всем λi — собственным числам A, а
взаимно ортогональны для различных λi.
- Последнее свойство для нормального оператора над
является характеристическим: оператор нормален тогда и только тогда, когда его матрица имеет диагональный вид в каком-нибудь ортонормированном базисе (в конечномерном случае).
Положительные матрицы
Квадратная вещественная
матрица A = (aij) называется положительной, если все её элементы положительны: aij > 0.
Теорема Перрона (частный случай теоремы Перрона-Фробениуса): Положительная квадратная матрица A имеет положительное собственное значение r, которое имеет алгебраическую кратность 1 и строго превосходит абсолютную величину любого другого собственного значения этой матрицы. Собственному значению r соответствует собственный вектор er, все координаты которого строго положительны. Вектор er — единственный собственный вектор A (с точностью до умножения на число), имеющий неотрицательные координаты.
Собственный вектор er может быть вычислен посредством прямых итераций: выберем произвольный начальный вектор v0 с положительными координатами. Положим:
Последовательность vk сходится к нормированному собственному вектору
.
Другая область применения метода прямых итераций — поиск собственных векторов положительно определённых симметричных операторов.
Литература
- Гантмахер Ф. Р. Теория матриц. — М.: Наука, 1966. — 576 с.
- Уилкинсон Д. Х. Алгебраическая проблема собственных значений. — М.: Наука, 1970. — 564 с.
Wikimedia Foundation. 2010.
СОБСТВЕННЫЕ ВЕКТОРЫ — линейного преобразования векторы x ??0, которые при этом преобразовании не меняют своего направления, а только умножаются на скаляр … Большой Энциклопедический словарь
собственные векторы — — [http://www.iks media.ru/glossary/index.html?glossid=2400324] Тематики электросвязь, основные понятия EN eigenvectors … Справочник технического переводчика
собственные векторы — линейного преобразования, векторы х≠0, которые при этом преобразовании не меняют своего направления, а только умножаются на скаляр. * * * СОБСТВЕННЫЕ ВЕКТОРЫ СОБСТВЕННЫЕ ВЕКТОРЫ линейного преобразования, векторы x № 0, которые при этом… … Энциклопедический словарь
Собственные векторы, значения и пространства — Синим цветом обозначен собственный вектор. Он, в отличие от красного, при деформации(преобразовании) не изменил направление и длину, поэтому является собственным вектором, соответствующим … Википедия
Собственные векторы — линейного преобразования, векторы, которые при этом преобразовании не меняют своего направления, а только умножаются на скаляр. Например, С. в. преобразования, составленного из вращении вокруг некоторой оси и сжатия к перпендикулярной ей… … Большая советская энциклопедия
СОБСТВЕННЫЕ ВЕКТОРЫ — линейного преобразования, векторы x не равно 0, к рые при этом преобразовании не меняют своего направления, а только умножаются на скаляр … Естествознание. Энциклопедический словарь
СОБСТВЕННЫЕ ЗНАЧЕНИЯ — линейного преобразования скаляры, на которые умножаются его собственные векторы. Таким образом, есть собственные значения преобразования A, если существует ненулевой вектор x такой, что Aх = ?x … Большой Энциклопедический словарь
собственные значения — линейного преобразования, скаляры, на которые умножаются его собственные векторы. Таким образом, λ есть собственные значения преобразования А, если существует ненулевой вектор х такой, что Ах = λх. * * * СОБСТВЕННЫЕ ЗНАЧЕНИЯ СОБСТВЕННЫЕ ЗНАЧЕНИЯ… … Энциклопедический словарь
Собственные значения — линейного преобразования или оператора А, числа λ, для которых существует ненулевой вектор х такой, что Ах = λх; вектор х называется собственным вектором (См. Собственные векторы). Так, С. з. дифференциального оператора L (y) с заданными… … Большая советская энциклопедия
СОБСТВЕННЫЕ ЗНАЧЕНИЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ ОПЕРАТОРОВ; — численные методы нахождения методы вычисления собственных значений и соответствующих собственных функций дифференциальных операторов. Колебания упругих ограниченных тел описываются уравнением где нек рое дифференциальное выражение. Если решение… … Математическая энциклопедия