Субдифференциал

Субдифференциал функции f, заданной на банаховом пространстве E — это один из способов обобщить понятие производной на произвольные функции. Хотя при его использовании приходится пожертвовать однозначностью отображения (значения субдифференциала в общем случае — множества, а не отдельные точки), он оказывается довольно удобным: любая выпуклая функция оказывается субдифференцируемой на всей области определения. В тех случаях, когда о дифференцируемости функции заранее ничего не известно, это оказывается существенным преимуществом.

Кроме того, субдифференциал (при довольно слабых ограничениях на функцию) по своим свойствам во многом подобен обычной производной. В частности, для дифференцируемой функции они совпадают, а для недифференцируемой он оказывается как бы «множеством возможных производных» в данной точке. Значения субдифференциала являются выпуклыми подмножествами сопряженного пространства E*.

Определение

Субдифференциалом $\partial f(x_0)$ выпуклой функции $f: E \rightarrow \mathbb R$ в точке $x_0$ называется множество, состоящее из всех линейных функционалов $p \in E^*$, удовлетворяющих для всех $x \in E$ неравенству

$p( x-x_0 ) \leq f(x)-f(x_0)$.

Функция $f(x)$ называется субдифференцируемой в точке $x_0$, если множество $\partial f(x_0)$ непусто.

Вектор $p \in E^*$, принадлежащий субдифференциалу $\partial f(x_0)$, называется субградиентом функции $f(x)$ в точке $x_0$.

Свойства

• $\partial f(x_0)$ — выпуклое (возможно пустое) множество в $E^*$

Пусть f₁(x), f₂(x) — выпуклые конечные функции, причем одна из них непрерывна в точке x, $\lambda \geq 0$, тогда

• $\partial \left(f_1(x)+f_2(x) \right) = \partial \left(f_1(x) \right)+ \partial \left(f_2(x)\right)$, сумма понимается в смысле суммы Минковского.
• $\partial \left(\lambda f_1(x)\right)=\lambda \partial f_1(x)$
• если функция $f: E \rightarrow \mathbb R$ выпукла и непрерывна в точке $x \in E$, то она субдифференцируема в этой точке $x \in E$, то есть $\partial f(x)\neq \varnothing$, и ее субдифференциал $\partial f(x)$ является множеством компактным и выпуклым
• пусть функция $f: E \rightarrow \mathbb R$ выпукла и конечна. В этом случае функция $f(x)$ дифференцируема по Гато в точке $x_0 \in E$ тогда и только тогда, когда ее субдифференциал в этой точке состоит из единственного вектора $\partial f(x_0)=\left\{ \frac{\partial f(x_0)}{\partial x}\right\}$
• функция имеет локальный минимум в точке тогда и только тогда, когда 0 принадлежит субдифференциалу в этой точке.

Ссылки

• Половинкин Е. С, Балашов М. В. Элементы выпуклого и сильно выпуклого анализа. — М.: Физматлит, 2004. — 416 с — ISBN 5-9221-0499-3.
• Jean-Baptiste Hiriart-Urruty, Claude Lemaréchal Fundamentals of Convex Analysis. — Springer, 2001. ISBN 3-540-42205-6.