Момент силы

Момент силы
$\vec{M}=\left[\vec{r}\times\vec{F}\right]$
Размерность	L2MT−2
Единицы измерения
СИ	Ньютон-метр
СГС	Дина-сантиметр
Примечания
Псевдовектор

Момент силы, приложенный к гаечному ключу. Направлен от зрителя

Зависимости между силой F, моментом силы τ (M), импульсом p и моментом импульса L в системе, которая была ограничена только в одной плоскости (силы и моменты, обусловленные тяжестью и трением не учитываются)

Момент силы (синонимы: крутящий момент, вращательный момент, вертящий момент, вращающий момент) — векторная физическая величина, равная векторному произведению радиус-вектора, (проведенного от оси вращения к точке приложения силы — по определению), на вектор этой силы. Характеризует вращательное действие силы на твёрдое тело.

Понятия «вращающий» и «крутящий» моменты в общем случае не тождественны, так как в технике понятие «вращающий» момент рассматривается как внешнее усилие, прикладываемое к объекту, а «крутящий» — внутреннее усилие, возникающее в объекте под действием приложенных нагрузок (этим понятием оперируют в сопротивлении материалов).

Общие сведения

В физике момент силы можно понимать как «вращающая сила». В системе СИ единицами измерения для момента силы является Ньютон-метр. Момент силы иногда называют моментом пары сил, это понятие возникло в трудах Архимеда над рычагами. В простейшем случае, если сила приложена к рычагу перпендикулярно ему, момент силы определяется как произведение величины этой силы на расстояние до оси вращения рычага. Например, сила в 3 ньютона, приложенная к рычагу на расстоянии 2 метров от его оси вращения, создаёт такой же момент, что и сила в 1 ньютон, приложенная к рычагу на расстоянии 6 метров до оси вращения. Более точно, момент силы частицы определяется как векторное произведение:

$\vec{M}=\left[\vec{r}\times\vec{F}\right]$

где $\vec{F}$ — сила, действующая на частицу, а $\vec{r}$ — радиус-вектор частицы.

Предыстория

Строго говоря, вектор, обозначающий момент сил, введен искусственно, так как является удобным при вычислении работы по криволинейному участку относительно неподвижной оси и удобен при вычислении общего момента сил всей системы, так как может суммироваться. Для того, чтобы понять откуда появилось обозначение момента сил и как до него додумались, стоит рассмотреть действие силы на рычаг, поворачивающийся относительно неподвижной оси.

Работа, совершаемая при действии силы $\vec F$ на рычаг $\vec r$, совершающий вращательное движение вокруг неподвижной оси, может быть рассчитана исходя из следующих соображений.

Пусть под действием этой силы конец рычага смещается на бесконечно малый отрезок $~dl$, которому соответствует бесконечно малый угол $d\varphi$. Обозначим через $\vec dl$ вектор, который направлен вдоль бесконечно малого отрезка $~dl$ и равен ему по модулю. Угол между вектором силы $\vec F$ и вектором $\vec dl$ равен $~\beta$, а угол $~\alpha$ между вектором $\vec r$ и вектором силы $\vec F$.

Следовательно, бесконечно малая работа $~dA$, совершаемая силой $\vec F$ на бесконечно малом участке $~dl$ равна скалярному произведению вектора $\vec dl$ и вектора силы, то есть $dA = \vec F \cdot \vec dl$.

Теперь попытаемся выразить модуль вектора $\vec dl$ через радиус-вектор $\vec r$, а проекцию вектора силы $\vec F$ на вектор $\vec dl$, через угол $~\alpha$.

Так как для бесконечно малого перемещения рычага $~dl$, можно считать, что траектория перемещения перпендикулярна рычагу $\vec r$, используя соотношения для прямоугольного треугольника, можно записать следующее равенство: $dl = r \sin{d\varphi}$, где в случае малого угла справедливо $\sin{d\varphi} = d\varphi$ и следовательно $\left| \vec{dl} \right| = \left| \vec{r} \right| d\varphi$

Для проекции вектора силы $\vec F$ на вектор $\vec dl$, видно, что угол $\beta = \alpha - \frac{\pi}{2}$, а так как $\cos{\left(\alpha - \frac{\pi}{2} \right )} = \sin{\alpha}$, получаем, что $\left| \vec{F} \right| \cos{\beta}= \left| \vec{F} \right| \sin{\alpha}$.

Теперь запишем бесконечно малую работу через новые равенства $dA=\left| \vec{r} \right| d\varphi \left| \vec{F} \right| \sin{\alpha}$ или $dA=\left| \vec{r} \right| \left| \vec{F} \right| \sin{\left (\alpha \right )} d\varphi$.

Теперь видно, что произведение $\left| \vec{r} \right| \left| \vec{F} \right| \sin{\left (\alpha \right )}$ есть не что иное как модуль векторного произведения векторов $\vec r$ и $\vec F$, то есть $\left| \vec r \times \vec F \right|$, которое и было принято обозначить за момент силы $~M$ или модуль вектора момента силы $\left|\vec M\right|$.

Теперь полная работа записывается очень просто: $A = \int\limits_ 0^ \varphi \left| \vec r \times \vec F \right| d\varphi$ или $A = \int\limits_ 0^ \varphi\left| \vec M \right| d\varphi$.

Единицы

Момент силы имеет размерность сила на расстояние, и в системе СИ единицей момента силы является ньютон-метр. Джоуль, единица СИ для энергии и работы, тоже определяется как 1Н·м, но эта единица не используется для момента силы. Когда энергия представляется как результат «сила на расстояние», энергия скалярная, тогда как момент силы — это «сила, векторно умноженная на расстояние» и таким образом она (псевдо) векторная величина. Конечно, совпадение размерности этих величин не простое совпадение; момент силы 1Н·м, приложенный через целый оборот, требует энергии как раз 2*π джоулей. Математически

$E= {M} \theta\$ ,

где Е — энергия, M— вращающий момент, θ — угол в радианах.

Специальные случаи

Формула момента рычага

Момент рычага

Очень интересен особый случай, представляемый как определение момента силы в поле:

$\boldsymbol{M}$ = МОМЕНТ_РЫЧАГА * СИЛА

Проблема такого представления в том, что оно не дает направления момента силы, а только его величину, поэтому трудно рассматривать в.м. в 3-хмерном случае. Если сила перпендикулярна вектору r, момент рычага будет равен расстоянию до центра и момент силы будет максимален

$\boldsymbol{T}$ = РАССТОЯНИЕ_ДО_ЦЕНТРА * СИЛА

Сила под углом

Если сила F направлена под углом θ к рычагу r, то M = r*F*sinθ, где θ это угол между рычагом и приложенной силой

Статическое равновесие

Для того чтобы объект находился в равновесии, должна равняться нулю не только сумма всех сил, но и сумма всех моментов силы вокруг любой точки. Для 2-хмерного случая с горизонтальными и вертикальными силами: сумма сил в двух измерениях ΣH=0, ΣV=0 и момент силы в третьем измерении ΣM=0.

Момент силы как функция от времени

Момент силы — производная по времени от момента импульса,

$\boldsymbol{M} ={d\mathbf{L} \over dt} \,\!$ ,

где L — момент импульса. Момент импульса твердого тела может быть описан через произведение момента инерции и угловой скорости.

$\mathbf{L}=I\,\boldsymbol{\omega} \,\!$ ,

То есть, если I постоянная, то

$\boldsymbol{M}=I{d\boldsymbol{\omega} \over dt}=I\boldsymbol{\alpha} \,\!$ ,

где α — угловое ускорение, измеряемое в радианах в секунду за секунду.

Отношение между моментом силы и мощностью

Если сила совершает действие на каком-либо расстоянии, то она совершает механическую работу. Также если момент силы совершает действие через угловое расстояние, он совершает работу.

$\boldsymbol{P}$ = МОМЕНТ_СИЛЫ * УГЛОВАЯ_СКОРОСТЬ

В системе СИ мощность $\boldsymbol{P}$ измеряется в Ваттах, момент силы в ньютон-метрах, а УГЛОВАЯ СКОРОСТЬ в радианах в секунду.

Отношение между моментом силы и работой

$\boldsymbol{A}$ = МОМЕНТ_СИЛЫ * УГОЛ

В системе СИ работа $\boldsymbol{A}$ измеряется в Джоулях, момент силы в Ньютон * метр, а УГОЛ в радианах.

Обычно известна угловая скорость $\boldsymbol{w}$ в радианах в секунду и время действия МОМЕНТА $\boldsymbol{t}$.

Тогда совершенная МОМЕНТОМ силы РАБОТА рассчитывается как:

$\boldsymbol{A}$ = МОМЕНТ_СИЛЫ * $\boldsymbol{w}$ * $\boldsymbol{t}$

Момент силы относительно точки

Если имеется материальная точка $O_F\,\!$, к которой приложена сила $\vec F$, то момент силы относительно точки $O\,\!$ равен векторному произведению радиус-вектора $\vec r$, соединяющего точки $O$ и $O_F$, на вектор силы $\vec F$:

$\vec M_O = \left[ \vec r \times \vec F \right]$.

Момент силы относительно оси

Моментом силы относительно оси называется момент проекции силы на плоскость, перпендикулярную оси, относительно точки пересечения оси с этой плоскостью.

Единицы измерения

Момент силы измеряется в ньютон-метрах. 1 Н·м — момент силы, который производит сила 1 Н на рычаг длиной 1 м. Сила приложена к концу рычага и направлена перпендикулярно ему.

Измерение момента

На сегодняшний день измерение момента силы осуществляется с помощью тензометрических, оптических и индуктивных датчиков нагрузки. В России при решении задач измерения момента в основном используется оборудование зарубежных производителей (HBM, Lorenz (Германия), Kyowa (Япония), Dacell (Корея) и ряда других).

Ссылки

• Развитие и будущее технологии измерения крутящего момента

См. также

• Момент инерции
• Момент импульса
• Теорема Вариньона