Момент силы


Момент силы
Момент силы
\vec{M}=\left[\vec{r}\times\vec{F}\right]
Размерность

L2MT−2

Единицы измерения
СИ

Ньютон-метр

СГС

Дина-сантиметр

Примечания

Псевдовектор

Момент силы, приложенный к гаечному ключу. Направлен от зрителя
Зависимости между силой F, моментом силы τ (M), импульсом p и моментом импульса L в системе, которая была ограничена только в одной плоскости (силы и моменты, обусловленные тяжестью и трением не учитываются)

Момент силы (синонимы: крутящий момент, вращательный момент, вертящий момент, вращающий момент) — векторная физическая величина, равная векторному произведению радиус-вектора, (проведенного от оси вращения к точке приложения силы — по определению), на вектор этой силы. Характеризует вращательное действие силы на твёрдое тело.

Понятия «вращающий» и «крутящий» моменты в общем случае не тождественны, так как в технике понятие «вращающий» момент рассматривается как внешнее усилие, прикладываемое к объекту, а «крутящий» — внутреннее усилие, возникающее в объекте под действием приложенных нагрузок (этим понятием оперируют в сопротивлении материалов).

Содержание

Общие сведения

В физике момент силы можно понимать как «вращающая сила». В системе СИ единицами измерения для момента силы является Ньютон-метр. Момент силы иногда называют моментом пары сил, это понятие возникло в трудах Архимеда над рычагами. В простейшем случае, если сила приложена к рычагу перпендикулярно ему, момент силы определяется как произведение величины этой силы на расстояние до оси вращения рычага. Например, сила в 3 ньютона, приложенная к рычагу на расстоянии 2 метров от его оси вращения, создаёт такой же момент, что и сила в 1 ньютон, приложенная к рычагу на расстоянии 6 метров до оси вращения. Более точно, момент силы частицы определяется как векторное произведение:

\vec{M}=\left[\vec{r}\times\vec{F}\right]

где \vec{F} — сила, действующая на частицу, а \vec{r}  — радиус-вектор частицы.

Предыстория

Строго говоря, вектор, обозначающий момент сил, введен искусственно, так как является удобным при вычислении работы по криволинейному участку относительно неподвижной оси и удобен при вычислении общего момента сил всей системы, так как может суммироваться. Для того, чтобы понять откуда появилось обозначение момента сил и как до него додумались, стоит рассмотреть действие силы на рычаг, поворачивающийся относительно неподвижной оси.

Работа, совершаемая при действии силы \vec F на рычаг \vec r, совершающий вращательное движение вокруг неподвижной оси, может быть рассчитана исходя из следующих соображений.

Пусть под действием этой силы конец рычага смещается на бесконечно малый отрезок ~dl, которому соответствует бесконечно малый угол d\varphi. Обозначим через \vec dl вектор, который направлен вдоль бесконечно малого отрезка ~dl и равен ему по модулю. Угол между вектором силы \vec F и вектором \vec dl равен ~\beta , а угол ~\alpha между вектором \vec r и вектором силы \vec F.

Следовательно, бесконечно малая работа ~dA, совершаемая силой \vec F на бесконечно малом участке ~dl равна скалярному произведению вектора \vec dl и вектора силы, то есть  dA = \vec F \cdot \vec dl .

Теперь попытаемся выразить модуль вектора \vec dl через радиус-вектор \vec r, а проекцию вектора силы \vec F на вектор \vec dl, через угол ~\alpha .

Так как для бесконечно малого перемещения рычага ~dl, можно считать, что траектория перемещения перпендикулярна рычагу \vec r, используя соотношения для прямоугольного треугольника, можно записать следующее равенство:  dl = r \sin{d\varphi}, где в случае малого угла справедливо   \sin{d\varphi} = d\varphi и следовательно \left| \vec{dl} \right| = \left| \vec{r} \right| d\varphi

Для проекции вектора силы \vec F на вектор \vec dl, видно, что угол \beta = \alpha - \frac{\pi}{2} , а так как  \cos{\left(\alpha - \frac{\pi}{2} \right )} = \sin{\alpha}, получаем, что  \left| \vec{F} \right| \cos{\beta}= \left| \vec{F} \right| \sin{\alpha}.

Теперь запишем бесконечно малую работу через новые равенства dA=\left| \vec{r} \right| d\varphi \left| \vec{F} \right| \sin{\alpha} или dA=\left| \vec{r} \right|  \left| \vec{F} \right| \sin{\left (\alpha \right )} d\varphi.

Теперь видно, что произведение \left| \vec{r} \right|  \left| \vec{F} \right| \sin{\left (\alpha \right )} есть не что иное как модуль векторного произведения векторов \vec r и \vec F, то есть  \left|  \vec r \times \vec F  \right|, которое и было принято обозначить за момент силы ~M или модуль вектора момента силы  \left|\vec M\right|.

Теперь полная работа записывается очень просто: A = \int\limits_ 0^ \varphi \left|  \vec r \times \vec F  \right| d\varphi или A = \int\limits_ 0^ \varphi\left|  \vec M \right| d\varphi.

Единицы

Момент силы имеет размерность сила на расстояние, и в системе СИ единицей момента силы является ньютон-метр. Джоуль, единица СИ для энергии и работы, тоже определяется как 1Н·м, но эта единица не используется для момента силы. Когда энергия представляется как результат «сила на расстояние», энергия скалярная, тогда как момент силы — это «сила, векторно умноженная на расстояние» и таким образом она (псевдо) векторная величина. Конечно, совпадение размерности этих величин не простое совпадение; момент силы 1Н·м, приложенный через целый оборот, требует энергии как раз 2*π джоулей. Математически

E= {M} \theta\ ,

где Е — энергия, M— вращающий момент, θ — угол в радианах.

Специальные случаи

Формула момента рычага

Момент рычага

Очень интересен особый случай, представляемый как определение момента силы в поле:

\boldsymbol{M} = МОМЕНТ_РЫЧАГА * СИЛА

Проблема такого представления в том, что оно не дает направления момента силы, а только его величину, поэтому трудно рассматривать в.м. в 3-хмерном случае. Если сила перпендикулярна вектору r, момент рычага будет равен расстоянию до центра и момент силы будет максимален

\boldsymbol{T} = РАССТОЯНИЕ_ДО_ЦЕНТРА * СИЛА

Сила под углом

Если сила F направлена под углом θ к рычагу r, то M = r*F*sinθ, где θ это угол между рычагом и приложенной силой

Статическое равновесие

Для того чтобы объект находился в равновесии, должна равняться нулю не только сумма всех сил, но и сумма всех моментов силы вокруг любой точки. Для 2-хмерного случая с горизонтальными и вертикальными силами: сумма сил в двух измерениях ΣH=0, ΣV=0 и момент силы в третьем измерении ΣM=0.

Момент силы как функция от времени

Момент силы — производная по времени от момента импульса,

\boldsymbol{M} ={d\mathbf{L} \over dt} \,\! ,

где L — момент импульса. Момент импульса твердого тела может быть описан через произведение момента инерции и угловой скорости.

\mathbf{L}=I\,\boldsymbol{\omega} \,\! ,

То есть, если I постоянная, то

\boldsymbol{M}=I{d\boldsymbol{\omega} \over dt}=I\boldsymbol{\alpha} \,\! ,

где α — угловое ускорение, измеряемое в радианах в секунду за секунду.

Отношение между моментом силы и мощностью

Если сила совершает действие на каком-либо расстоянии, то она совершает механическую работу. Также если момент силы совершает действие через угловое расстояние, он совершает работу.

\boldsymbol{P} = МОМЕНТ_СИЛЫ * УГЛОВАЯ_СКОРОСТЬ

В системе СИ мощность \boldsymbol{P} измеряется в Ваттах, момент силы в ньютон-метрах, а УГЛОВАЯ СКОРОСТЬ в радианах в секунду.

Отношение между моментом силы и работой

\boldsymbol{A} = МОМЕНТ_СИЛЫ * УГОЛ

В системе СИ работа \boldsymbol{A} измеряется в Джоулях, момент силы в Ньютон * метр, а УГОЛ в радианах.

Обычно известна угловая скорость \boldsymbol{w} в радианах в секунду и время действия МОМЕНТА \boldsymbol{t}.

Тогда совершенная МОМЕНТОМ силы РАБОТА рассчитывается как:

\boldsymbol{A} = МОМЕНТ_СИЛЫ * \boldsymbol{w} * \boldsymbol{t}

Момент силы относительно точки

Если имеется материальная точка  O_F\,\! , к которой приложена сила \vec F , то момент силы относительно точки  O\,\! равен векторному произведению радиус-вектора \vec r, соединяющего точки O и O_F, на вектор силы \vec F:

\vec M_O = \left[ \vec r \times \vec F \right].

Момент силы относительно оси

Моментом силы относительно оси называется момент проекции силы на плоскость, перпендикулярную оси, относительно точки пересечения оси с этой плоскостью.

Единицы измерения

Момент силы измеряется в ньютон-метрах. 1 Н·м — момент силы, который производит сила 1 Н на рычаг длиной 1 м. Сила приложена к концу рычага и направлена перпендикулярно ему.

Измерение момента

На сегодняшний день измерение момента силы осуществляется с помощью тензометрических, оптических и индуктивных датчиков нагрузки. В России при решении задач измерения момента в основном используется оборудование зарубежных производителей (HBM, Lorenz (Германия), Kyowa (Япония), Dacell (Корея) и ряда других).

Ссылки

См. также


Wikimedia Foundation. 2010.

Смотреть что такое "Момент силы" в других словарях:

  • МОМЕНТ СИЛЫ — величина, характеризующая вращат. эффект силы при действии её на тв. тело; одно из осн. понятий механики. Различают М. с. относительно центра (точки) и относительно оси. М. с. относительно центра О величина векторная. Его модуль MO=Fh, где F… …   Физическая энциклопедия

  • Момент (силы) — – в статике сооружений произведение величины силы на кратчайшее расстояние от линии действия силы до точки, относительно которой определяется момент. [Полякова, Т.Ю.  Автодорожные мосты: учебный англо русский и русско английский… …   Энциклопедия терминов, определений и пояснений строительных материалов

  • МОМЕНТ СИЛЫ — относительно точки (Moment of a force) произведение величин силы на длину перпендикуляра, опущенного из точки на направление силы. М. С. относительно оси произведение проекции силы на плоскость, перпендикулярную оси, на расстояние между осью и… …   Морской словарь

  • момент силы — произведение силы на плечо. вращающий момент. плечо. кручение. см. равновесие …   Идеографический словарь русского языка

  • МОМЕНТ СИЛЫ — МОМЕНТ СИЛЫ, см. ВРАЩАЮЩИЙ МОМЕНТ …   Научно-технический энциклопедический словарь

  • момент силы — величина, характеризующая вращательный эффект силы при действии её на твёрдое тело. Различают моменты силы относительно центра (точки) и относительно оси. Момент силы относительно центра O (рис. а)  векторная величина, численно равная… …   Энциклопедический словарь

  • Момент силы —         величина, характеризующая вращательный эффект силы при действии её на твёрдое тело; является одним из основных понятий механики. Различают М. с. относительно центра (точки) и относительно оси.          М. с. относительно центра О величина …   Большая советская энциклопедия

  • момент силы — [moment of force] величина, характеризизующая вращательный эффект силы при действии ее на твердое тело. Момент силы, Н • м, рассчитывается относительно центра (точки) вращения. Смотри также: Момент момент сопротивления сечения момент прокатки …   Энциклопедический словарь по металлургии

  • МОМЕНТ СИЛЫ — механич. величина, характеризующая внеш. воздействие на тело (или систему тел) и определяющая изменение вращат. движения тела. М. с. относительно полюса (точки) О (см. рис.) наз. вектор М, равный векторному произведению радиус вектора r,… …   Большой энциклопедический политехнический словарь

  • МОМЕНТ СИЛЫ — величина, характеризующая вращат. эффект силы при действии её на тв. тело. Различают М. с. относительно центра (точки) и относительно осн. М. с. относительно центра О (рис. а) векторная величина, численно равная произведению модуля силы F на… …   Естествознание. Энциклопедический словарь

Книги

Другие книги по запросу «Момент силы» >>


Поделиться ссылкой на выделенное

Прямая ссылка:
Нажмите правой клавишей мыши и выберите «Копировать ссылку»

We are using cookies for the best presentation of our site. Continuing to use this site, you agree with this.