Модель Крамера

Модель Крамера

Модель Крамера — Лундберга — математическая модель, позволяющая оценивать риски разорения страховой компании. В рамках данной модели предполагается, что страховые взносы поступают равномерно, со скоростью с условных денежных единиц за единицу времени, где с — размер страховой премии. Модель позволяет определить размер страховой премии, необходимой для неразорения компании.

Содержание

Обозначения

U(t) — капитал компании в момент времени t

u — стартовый капитал

N(t) — количество страховых исков в момент времени t

xi — сумма выплат по i-ому иску.

S(t)xi — сумма всех страховых исков в момент времени t

U(t)=u+ct-S(t)

Предпосылки модели

  1. xi — независимые одинаково распределённые случайные величины, имеющие конечные математическое ожидание и дисперсию.
  2. T1<T2<…<Ti
  3. Промежутки времени, через которые предъявляются страховые иски, являются независимыми одинаково распределёнными по экспоненциальному[источник не указан 247 дней] закону случайными величинами.
    Y1=T1
    Y2=T2-T1
    ….
    Yi=Ti-Ti-1
    ….
  4. xi и Yi — независимы

Математические выкладки

Рассмотрим момент времени t*, предположим, что было оплачено K исков. Тогда { N(t)=K} = {Y1+Y2+…+YK… ≤ t*}

Y1+Y2+…+YK+YK+1 > t*

P(N(t){=}K) = e^{-\lambda t} \frac{\lambda t^K}{K!} — вероятность того, что в рассматриваемый момент времени будет оплачено K исков.

P(S(t) \leqslant x) = \sum_{n=0}^\infty  e^{- \lambda t}\frac{\lambda t ^n}{n!} (F(x))^n — вероятность того, что в момент времени t сумма всех страховых исков не превысит x.

Обозначим вероятность разорения страховой компании — \psi \,.

\psi (u; \tau) \, — вероятность разорения страховой компании с начальным капиталом u в момент времени τ.

\psi (u; \tau) = P(u(t)<0, t \in (0; \tau \,))

\psi (u) = \psi (u; \infty) — вероятность того, что компания когда-нибудь разорится.

\boldsymbol Eu(t)=u+ct- \mu \lambda t, где \mu = \boldsymbol E x_i — математическое ожидание величины x_i \,, a \lambda t — математическое ожидание величины N(t), имеющей в данной модели распределение Пуассона.

Рассмотрим, каким образом компания назначает страховую премию с, в соответствии с политикой неразорения.

Страховая премия должна быть назначена таким образом, чтобы вероятность того, что компания никогда не разорится была больше нуля, то есть: \psi (u) <1, это означает, что математическое ожидание капитала при t \stackrel{}{\longrightarrow}\infty должно быть положительным.

\boldsymbol E u(t)=u+(c- \lambda \mu )

\Downarrow

c \geqslant \mu \lambda

Выводы модели

С помощью статистических или иных методов, страховая компания должна вычислить средний размер одной страховой выплаты, а также вероятность наступления страхового случая. Размер страховой премии должен быть установлен на уровне не меньшем, чем произведение коэффициента λ (вероятность предъявления страхового иска за единицу времени) и средней стоимости страхового иска. В таком случае, вероятность того, что страховая компания не разорится будет ненулевая.



Wikimedia Foundation. 2010.

Игры ⚽ Поможем решить контрольную работу

Полезное


Смотреть что такое "Модель Крамера" в других словарях:

  • Модель Крамера-Лундберга — Модель Крамера Лундберга  математическая модель, позволяющая оценивать риски разорения страховой компании. В рамках данной модели предполагается, что страховые взносы поступают равномерно, со скоростью с условных денежных единиц за единицу… …   Википедия

  • Гипотеза Крамера — Гипотеза Крамера  теоретико числовая гипотеза, сформулированная шведским математиком Крамером в 1936 году,[1] утверждающая, что где обозначает n е простое число, а O  это O большое. Грубо говоря, это означает, что пробелы между… …   Википедия

  • Неравенство Крамера — Рао — В математической статистике неравенством Крамера Рао (в честь Гаральда Крамера и К. Р. Рао) называется неравенство, которое при некоторых условиях на статистическую модель даёт нижнюю границу для дисперсии оценки неизвестного параметра, выражая… …   Википедия

  • Неравенство Крамера — В математической статистике неравенством Крамера Рао (в честь Гаральда Крамера и К. Р. Рао) называется неравенство, которое при некоторых условиях на статистическую модель даёт нижнюю границу для дисперсии оценки неизвестного параметра, выражая… …   Википедия

  • Неравенство Крамера-Рао — В математической статистике неравенством Крамера Рао (в честь Гаральда Крамера и К. Р. Рао) называется неравенство, которое при некоторых условиях на статистическую модель даёт нижнюю границу для дисперсии оценки неизвестного параметра, выражая… …   Википедия

  • Неравенство Рао — Крамера — В математической статистике неравенством Крамера Рао (в честь Гаральда Крамера и К. Р. Рао) называется неравенство, которое при некоторых условиях на статистическую модель даёт нижнюю границу для дисперсии оценки неизвестного параметра, выражая… …   Википедия

  • Неравенство Рао-Крамера — В математической статистике неравенством Крамера Рао (в честь Гаральда Крамера и К. Р. Рао) называется неравенство, которое при некоторых условиях на статистическую модель даёт нижнюю границу для дисперсии оценки неизвестного параметра, выражая… …   Википедия

  • Титаник (фильм, 1997) — Это статья о фильме 1997 года, возможно, вы искали статью о фильме другого года. См. Титаник (значения). Титаник Titanic …   Википедия

  • Титаник (фильм — Титаник (фильм, 1997) Это статья о фильме 1997 года, возможно, вы искали статью о фильме другого года. См. Титаник (значения). Титаник Titanic …   Википедия

  • Теория гравитации Лесажа — Необходимо проверить качество перевода и привести статью в соответствие со стилистическими правилами Википедии. Вы можете помочь …   Википедия


Поделиться ссылкой на выделенное

Прямая ссылка:
Нажмите правой клавишей мыши и выберите «Копировать ссылку»