Модель Крамера-Лундберга

Модель Крамера-Лундберга — математическая модель, позволяющая оценивать риски разорения страховой компании. В рамках данной модели предполагается, что страховые взносы поступают равномерно, со скоростью с условных денежных единиц за единицу времени, где с — размер страховой премии. Модель позволяет определить размер страховой премии, необходимой для неразорения компании.

Обозначения

U(t) — капитал компании в момент времени t

u — стартовый капитал

N(t) — количество страховых исков в момент времени t

x_i — сумма выплат по i-ому иску.

S(t)=Σx_i — сумма всех страховых исков в момент времени t

U(t) = u + ct − S(t)

Предпосылки модели

1. x_i — независимые одинаково распределённые случайные величины, имеющие конечные математическое ожидание и дисперсию.
2. T₁<T₂<...<T_i…
3. Промежутки времени, через которые предъявляются страховые иски, являются независимыми одинаково распределёнными по пуассоновскому закону случайными величинами.
   Y₁=T₁
   Y₂=T₂-T₁
   ….
   Y_i=T_i-T_i-1
   ….
4. x_i и Y_i — независимы

Математические выкладки

Рассмотрим момент времени t*, предположим, что было оплачено K исков. Тогда { N(t)=K} = {Y₁+Y₂+…+Y_K… ≤ t*}

Y₁+Y₂+…+Y_K+Y_K+1 > t*

$P(N(t){=}K) = e^{-\lambda t} \frac{\lambda t^K}{K!}$ — вероятность того, что в рассматриваемый момент времени будет оплачено K исков.

$P(S(t) \leqslant x) = \sum_{n=0}^\infty e^{- \lambda t}\frac{\lambda t ^n}{n!} (F(x))^n$ — вероятность того, что в момент времени t сумма всех страховых исков не превысит x.

Обозначим вероятность разорения страховой компании — $\psi \,$.

$\psi (u; \tau) \,$ — вероятность разорения страховой компании с начальным капиталом u в момент времени τ.

$\psi (u; \tau) = P(u(t)<0, t \in (0; \tau \,))$

$\psi (u) = \psi (u; \infty)$ — вероятность того, что компания когда-нибудь разорится.

$\boldsymbol Eu(t)=u+ct- \mu \lambda t$, где $\mu = \boldsymbol E x_i$ — математическое ожидание величины $x_i \,$, a λt — математическое ожидание величины N(t), имеющей в данной модели распределение Пуассона.

Рассмотрим, каким образом компания назначает страховую премию с, в соответствии с политикой неразорения.

Страховая премия должна быть назначена таким образом, чтобы вероятность того, что компания никогда не разорится была больше нуля, то есть: ψ(u) < 1, это означает, что математическое ожидание капитала при $t \stackrel{}{\longrightarrow}\infty$ должно быть положительным.

$\boldsymbol E u(t)=u+(c- \lambda \mu )$

$\Downarrow$

$c \geqslant \mu \lambda$

Выводы модели

С помощью статистических или иных методов, страховая компания должна вычислить средний размер одной страховой выплаты, а также вероятность наступления страхового случая. Размер страховой премии должен быть установлен на уровне не меньшем, чем произведение коэффициента λ (вероятность предъявления страхового иска за единицу времени) и средней стоимости страхового иска. В таком случае, вероятность того, что страховая компания не разорится будет ненулевая.