- Неравенство Крамера
-
В математической статистике неравенством Краме́ра — Ра́о (в честь Гаральда Крамера и К. Р. Рао) называется неравенство, которое при некоторых условиях на статистическую модель даёт нижнюю границу для дисперсии оценки неизвестного параметра, выражая её через информацию Фишера.
Формулировка
Пусть дана статистическая модель
,
— выборка размера
, определена функция правдоподобия
и выполнены следующие условия (условия регулярности):
и везде дифференцируема по
.
- Функция
(функция вклада выборки) имеет конечную дисперсию (или, что то же, конечна информация Фишера).
- Для любой статистики
с конечным вторым моментом имеет место равенство
.
Пусть при этих условиях дана статистика
, которая несмещённо оценивает дифференцируемую функцию
. Тогда справедливо следующее неравенство:
;
- равенство достигается тогда и только тогда, когда
представляется в виде
.
Здесь
— информация Фишера.
Частный случай
Часто используется следующий частный случай вышеприведённого неравенства, также называемый неравенством Рао-Крамера. Пусть выполнены условия регулярности, а
— несмещённая оценка параметра
. Тогда
.
Равенство в этом неравенстве достигается тогда и только тогда, когда
.
Применение
Оценка параметра называется эффективной, если для неё неравенство Крамера — Рао обращается в равенство. Таким образом, неравенство может быть использовано для доказательства того, что дисперсия данной оценки наименьшая из возможных, то есть что данная оценка в некотором смысле лучше всех остальных.
Для улучшения этой статьи желательно?: - Найти и оформить в виде сносок ссылки на авторитетные источники, подтверждающие написанное.
- Добавить иллюстрации.
Категории:- Теория информации
- Математическая статистика
Wikimedia Foundation. 2010.