- Неравенство Крамера
-
В математической статистике неравенством Краме́ра — Ра́о (в честь Гаральда Крамера и К. Р. Рао) называется неравенство, которое при некоторых условиях на статистическую модель даёт нижнюю границу для дисперсии оценки неизвестного параметра, выражая её через информацию Фишера.
Формулировка
Пусть дана статистическая модель , — выборка размера , определена функция правдоподобия и выполнены следующие условия (условия регулярности):
- и везде дифференцируема по .
- Функция (функция вклада выборки) имеет конечную дисперсию (или, что то же, конечна информация Фишера).
- Для любой статистики с конечным вторым моментом имеет место равенство
- .
Пусть при этих условиях дана статистика , которая несмещённо оценивает дифференцируемую функцию . Тогда справедливо следующее неравенство:
- ;
- равенство достигается тогда и только тогда, когда представляется в виде .
Здесь — информация Фишера.
Частный случай
Часто используется следующий частный случай вышеприведённого неравенства, также называемый неравенством Рао-Крамера. Пусть выполнены условия регулярности, а — несмещённая оценка параметра . Тогда
.
Равенство в этом неравенстве достигается тогда и только тогда, когда .
Применение
Оценка параметра называется эффективной, если для неё неравенство Крамера — Рао обращается в равенство. Таким образом, неравенство может быть использовано для доказательства того, что дисперсия данной оценки наименьшая из возможных, то есть что данная оценка в некотором смысле лучше всех остальных.
Для улучшения этой статьи желательно?: - Найти и оформить в виде сносок ссылки на авторитетные источники, подтверждающие написанное.
- Добавить иллюстрации.
Категории:- Теория информации
- Математическая статистика
Wikimedia Foundation. 2010.