- Неравенство Крамера — Рао
-
Неравенство Крамера — Рао
В математической статистике неравенством Краме́ра — Ра́о (в честь Гаральда Крамера и К. Р. Рао) называется неравенство, которое при некоторых условиях на статистическую модель даёт нижнюю границу для дисперсии оценки неизвестного параметра, выражая её через информацию Фишера.
Формулировка
Пусть дана статистическая модель
,
— выборка размера n, определена функция правдоподобия
и выполнены следующие условия (условия регулярности):
и везде дифференцируема по
.
- Функция
(функция вклада выборки) имеет конечную дисперсию (или, что то же, конечна информация Фишера).
- Для любой статистики
с конечным вторым моментом имеет место равенство
.
Пусть при этих условиях дана статистика
, которая несмещённо оценивает дифференцируемую функцию τ(θ). Тогда справедливо следующее неравенство:
;
- равенство достигается тогда и только тогда, когда
представляется в виде
.
Здесь
— информация Фишера.
Частный случай
Часто используется следующий частный случай вышеприведённого неравенства, также называемый неравенством Рао-Крамера. Пусть выполнены условия регулярности, а
— несмещённая оценка параметра θ. Тогда
.
Равенство в этом неравенстве достигается тогда и только тогда, когда
.
Применение
Оценка параметра называется эффективной, если для неё неравенство Крамера — Рао обращается в равенство. Таким образом, неравенство может быть использовано для доказательства того, что дисперсия данной оценки наименьшая из возможных, то есть что данная оценка в некотором смысле лучше всех остальных.
Wikimedia Foundation. 2010.
Неравенство Крамера — В математической статистике неравенством Крамера Рао (в честь Гаральда Крамера и К. Р. Рао) называется неравенство, которое при некоторых условиях на статистическую модель даёт нижнюю границу для дисперсии оценки неизвестного параметра, выражая… … Википедия
Неравенство Крамера-Рао — В математической статистике неравенством Крамера Рао (в честь Гаральда Крамера и К. Р. Рао) называется неравенство, которое при некоторых условиях на статистическую модель даёт нижнюю границу для дисперсии оценки неизвестного параметра, выражая… … Википедия
Неравенство Рао — Крамера — В математической статистике неравенством Крамера Рао (в честь Гаральда Крамера и К. Р. Рао) называется неравенство, которое при некоторых условиях на статистическую модель даёт нижнюю границу для дисперсии оценки неизвестного параметра, выражая… … Википедия
Неравенство Рао-Крамера — В математической статистике неравенством Крамера Рао (в честь Гаральда Крамера и К. Р. Рао) называется неравенство, которое при некоторых условиях на статистическую модель даёт нижнюю границу для дисперсии оценки неизвестного параметра, выражая… … Википедия
Рао, Кальямпуди Радхакришна — Кальямпуди Радхакришна Рао … Википедия
Рао, Кальямпуди — Кальямпуди Радхакришна Рао (сокращено C.R.Rao; англ. Сalyampudi Radhakrishna Rao) крупнейший индийский математик, статистик. Автор нескольких теорем, связанных со статистическими оценками параметров распределения. Родился 10 сентября 1920 года в… … Википедия
Рао К. — Кальямпуди Радхакришна Рао (сокращено C.R.Rao; англ. Сalyampudi Radhakrishna Rao) крупнейший индийский математик, статистик. Автор нескольких теорем, связанных со статистическими оценками параметров распределения. Родился 10 сентября 1920 года в… … Википедия
Рао К. Р. — Кальямпуди Радхакришна Рао (сокращено C.R.Rao; англ. Сalyampudi Radhakrishna Rao) крупнейший индийский математик, статистик. Автор нескольких теорем, связанных со статистическими оценками параметров распределения. Родился 10 сентября 1920 года в… … Википедия
Рао Кальямпуди Радхакришна — Кальямпуди Радхакришна Рао (сокращено C.R.Rao; англ. Сalyampudi Radhakrishna Rao) крупнейший индийский математик, статистик. Автор нескольких теорем, связанных со статистическими оценками параметров распределения. Родился 10 сентября 1920 года в… … Википедия
РАО - КРАМЕРА НЕРАВЕНСТВО — н е р а в е нс т в о Ф р е ш е, н е р а в е н с т в о и н ф о р м а ц и и, неравенство в математич. статистике, устанавливающее нижнюю границу риска в задаче статистич. оценивания неизвестного параметра относительно квадратичной функции потерь.… … Математическая энциклопедия