Марковский момент времени

Марковский момент времени (в теории случайных процессов) — это случайная величина, не зависящая от будущего рассматриваемого случайного процесса.

Дискретный случай

Пусть дана последовательность случайных величин $\{Y_n\}_{n \ge 0}$. Тогда случайная величина $\tau$ называется марковским моментом (времени), если для любого $n \ge 0$ событие $\{\tau \le n\}$ зависит только от случайных величин $Y_0,\ldots, Y_n$.

Пример

Пусть $\{Y_n\}_{n \ge 0}$ — последовательность независимых нормальных случайных величин. Пусть $L \in \mathbb{R}$, и

$\tau = \inf \{ n \ge 0 \mid Y_n \ge L \}$

— момент первого достижения процессом $\{Y_n\}$ уровня $L$. Тогда $\tau$ — марковский момент, ибо $\tau \le n$ тогда и только тогда, когда существует $i\in \mathbb{N},\; 0 \le i \le n$ такое, что $Y_i \ge L$. Таким образом событие $\{\tau \le n\}$ зависит лишь от поведения процесса до момента времени $n$.

Пусть теперь

$\sigma = \sup \{ n \ge 0 \mid Y_n \ge L \}$

— момент последнего достижения процессом $\{Y_n\}$ уровня $L$. Тогда $\sigma$ не является марковским моментом, ибо событие $\{\sigma \le n\}$ предполагает знание поведения процесса в будущем.

Общий случай

• Пусть дано вероятностное пространство $(\Omega,\mathcal{F},\mathbb{P})$ с фильтрацией $\{\mathcal{F}_t\}_{t \in T}$, где $T \subset [0, \infty)$. Тогда случайная величина $\tau$ принимающая значения в $T \cup \{\infty\}$ называется марковским моментом относительно данной фильтрации, если $\{ \tau \le t \} \in \mathcal{F}_t,\quad \forall t \in T$.

• Если дан процесс $\{X_t\}_{t \in T}$, и $\mathcal{F}_t = \sigma (X_s \mid s \le t)$ — его естественные σ-алгебры, то говорят, что $\tau$ — марковский момент относительно процесса $\{X_t\}$.

• Марковский момент называется моментом остановки, если он конечен почти наверное, то есть

$\mathbb{P}(\tau < \infty) = 1$.

Свойства

Если $\tau$ и $\sigma$ — марковские моменты, то

• $\tau + \sigma$ — марковский момент;
• $\tau \wedge \sigma \equiv \min(\tau, \sigma)$ — марковский момент;
• $\tau \vee \sigma \equiv \max(\tau, \sigma)$ — марковский момент.

Замечание: момент остановки может не иметь конечного математического ожидания.

Пример

Пусть $\{W_t\}_{t \ge 0}$ — стандартный винеровский процесс. Пусть $\alpha > 0$. Определим

$\tau = \inf \{t \ge 0 \mid W_t \ge \alpha \}$.

Тогда $\tau$ — марковский момент, имеющий распределение, задаваемое плотностью вероятности

$f_{\tau}(t) = \frac{\alpha}{\sqrt{2 \pi t^3}}e^{-\frac{\alpha^2}{2t}},\quad t \ge 0$.

В частности $\tau$ — момент остановки. Однако,

$\mathbb{E} \tau = \infty$.