Группа Шрёдингера

Группа Шрёдингера — это группа симметрии свободного уравнения Шрёдингера.

Алгебра Шрёдингера

Алгебра Шрёдингера это алгебра Ли группы Шрёдингера.

Она содержит алгебру Галилея с центральным расширением.

$[J_i,J_j]=i \epsilon_{ijk} J_k,\,\!$

$[J_i,P_j]=i \epsilon_{ijk} P_k,\,\!$

$[J_i,K_j]=i \epsilon_{ijk} K_k,\,\!$

$[P_i,P_j]=0, [K_i,K_j]=0, [K_i,P_j]=i \delta_{ij} M,\,\!$

$[H,J_i]=0, [H,P_i]=0, [H,K_i]=i P_i.\,\!$

Тут J_i, P_i, K_i, H генераторы вращений (оператор углового момента), пространственных трансляций (оператор импульса), галилеевы бусты и трансляции по времени (гамильтониан) соответственно. Центральное расширение M интерпретируется как нерелятивистская масса и соответствует симметрии уравнения Шрёдингера при фазовых преобразованиях (и отвечает сохранению вероятности).

Ещё есть два генератора, которые мы обозначим D и C. У них следующие коммутационные соотношения:

$[H,C]=i D, [C,D]=-2i C, [H,D]=2i H,\,\!$

$[P_i,D]=i P_i, [K_i,D]=-iK_i,\,\!$

$[P_i,C]=-iK_i,[K_i,C]=0,\,\!$

$[J_i,C]=[J_i,D]=0.\,\!$

Генераторы H, C и D образуют алгебру sl(2,R).

Роль группы Шрёдингера в математической физике

Хотя группа Шрёдингера и определяется как группа симметрии свободного уравнения Шрёдингера, она реализуется в некоторых нерелятивистских системах с взаимодействием (к примеру, холодные атомы в критической точке).

Группа Шрёдингера d пространственных размерностей может быть вложена в релятивистскую конформную группу в d+1 размерностях SO(2,d+2). Это вложение отвечает тому факту, что можно получить уравнение Шрёдингера из безмассового уравнения Клейна-Гордона с помощью компактификации Калуцы-Клейна.

Литература

• C. R. Hagen , Scale and Conformal Transformations in Galilean-Covariant Field Theory, Phys. Rev. D 5, 377—388 (1972)
• Arjun Bagchi, Rajesh Gopakumar, Galilean Conformal Algebras and AdS/CFT, JHEP 0907:037,2009
• D.T.Son, Toward an AdS/cold atoms correspondence: A geometric realization of the Schrödinger symmetry, Phys. Rev. D 78, 046003 (2008)

См. также

• Уравнение Шрёдингера
• Преобразования Галилея
• Группа Пуанкаре

Связать^?

На эту статью не ссылаются другие статьи Википедии. Пожалуйста, воспользуйтесь подсказкой и установите ссылки в соответствии с принятыми рекомендациями.