Функция Гамильтона

У этого термина существуют и другие значения, см. Гамильтониан.

Функция Гамильтона, или Гамильтониан — функция, зависящая от обобщённых координат, импульсов и, возможно, времени, описывающая динамику механической системы в гамильтоновой формулировке классической механики.

$H(p,q)$

или

$H(p,q,t)$

где $p = (p_1, p_2, ..., p_n)$ — полный набор обобщенных импульсов, описывающий данную систему (n — число степеней свободы),

$q = (q_1, q_2, ..., q_n)$ — полный набор обобщенных координат.

В квантовой механике и квантовой теории поля гамильтониан или оператор Гамильтона, определяющий временну́ю эволюцию системы, соответствует функции Гамильтона в классической физике и является ее обобщением, в принципе достаточно прямым, однако в ряде случаев не совсем тривиальным (в принципе квантовый гамильтониан может быть получен просто подстановкой квантовых операторов координат и импульсов в функцию Гамильтона, однако из-за того, что такие операторы не всегда коммутируют, может быть не сразу очевиден выбор правильного варианта из возникающих вследствие этого).

В формализме фейнмановского интеграла по траекториям в квантовой механике и квантовой теории поля используется и просто классическая функция Гамильтона.

Функция Гамильтона — участвует в гамильтоновой форме принципа наименьшего (стационарного) действия, канонических уравнениях Гамильтона (одной из возможных форм уравнения движения в классической механике) и уравнении Гамильтона — Якоби, являясь основой гамильтоновой формулировки механики.

Для консервативных систем функция Гамильтона представляет полную энергию (выраженную как функция координат и импульсов), то есть — в классическом смысле — сумму кинетической и потенциальной энергий системы.

Функция Гамильтона связана с лагранжианом через преобразование Лежандра следующим соотношением:

$H=\vec p \cdot \dot{\vec q} - L$

где $\vec p$ — обобщённый импульс частицы, а $\dot {\vec q}$ — ее обобщённая скорость.

Физический смысл

Функция Гамильтона по сути представляет собой локальный закон дисперсии, выражающий квантовую частоту (частоту колебаний волновой функции) $\omega$ через волновой вектор $\mathbf k$ для каждой точки $\mathbf x$ пространства^[1]:

$\omega = H(\mathbf k,\mathbf x).$

Так, в классическом приближении (при больших частотах и модуле волнового вектора и сравнительно медленной зависимости от $\mathbf x$) этот закон достаточно очевидно описывает движение волнового пакета через канонические уравнения Гамильтона, одни из которых $(\dot q_i = \partial H/ \partial p_i)$ интерпретируются как формула групповой скорости, полученная из закона дисперсии, а другие $(\dot p_i = - \partial H/ \partial q_i)$ вполне естественно — как изменение, в частности поворот, волнового вектора при распространении волны в неоднородной среде определённого типа.

Примечания

1. ↑ Поскольку энергия и импульс и есть частота и волновой вектор, отличаясь от них лишь универсальным постоянным множителем, который может быть выбран и единичным в подходящей системе единиц.

Литература

• Л. Д. Ландау, Е. М. Лифшиц. Под ред. Л. П. Питаевского. 4-е изд., 224 с., 2007, 2 000 экз., ISBN 978-5-9221-0819-5