Атом (теория меры)

У этого термина существуют и другие значения, см. Атом (значения).

В теории меры, атом — это измеримое множество положительной меры, которое не содержит в себе подмножества меньшей положительной меры. Мера, не имеющая атомов, называется безатомной.

Определение

Если есть измеримое пространство $(X, \Sigma)$ и мера $\mu$ на этом пространстве, то множество $A$ из $\Sigma$ называется атомом, если

$\mu (A) >0\,$

и для любого измеримого подмножества $B$ множества $A$ из

$\mu(A) > \mu (B) \,$

следует, что

$\mu(B) = 0. \,$

Примеры

• Рассмотрим множество X={1, 2, ..., 9, 10} и пусть сигма-алгебра $\Sigma$ есть множество всех подмножеств X. Определим меру $\mu$ множества как его мощность, т.е. количество элементов в нем. Тогда каждое одноточечное подмножество {i} для i=1,2, ..., 9, 10 является атомом.
• Мера Лебега на действительной прямой является безатомной.

Безатомные меры

Мера, не содержащая атомов, называется безатомной. Другими словами, мера является безатомной, если для любого измеримого множества $A$ с $\mu (A) >0$ существует такое измеримое подмножество B множества A, что

$\mu(A) > \mu (B) > 0. \,$

Безатомная мера с хотя бы одним положительным значением имеет бесконечное количество различных значений, т.к. начиная с множества A с мерой $\mu (A) >0$ можно построить бесконечную последовательность измеримых множеств

$A=A_1\supset A_2 \supset A_3 \supset \cdots$

такую, что

$\mu(A)=\mu(A_1) > \mu(A_2) > \mu(A_3) > \cdots > 0.$

Это может быть неверно для мер с атомами (см. пример выше).

На самом деле оказывается, что безатомные меры имеют континуум значений. Можно доказать, что если μ является безатомной мерой, а A — это измеримое множество с $\mu (A) >0,$ то для любого действительного числа b, удовлетворяющего условию

$\mu (A) \geq b \geq0\,$

существует измеримое подмножество B множества A, такое, что

$\mu(B)=b.\,$

Эта теорема была доказана Вацлавом Серпинским. ^{[1] [2]} Она напоминает теорему о промежуточном значении для непрерывных функций.

Набросок доказательства теоремы Серпинского для безатомных мер. Используем слегка более сильное утверждение: если есть безатомное измеримое пространство $(X,\Sigma, \mu)$ и $\mu(X)=c$, то существует функция $S:[0, c]\to\Sigma$, задающая однопараметрическое семейство измеримых множеств S(t), таких что для всех $0\leq t \leq t'\leq c$

$S(t)\subset S(t'),$

$\mu\left (S(t)\right)=t.$

Доказательство легко следует из леммы Цорна, применённой к множеству

$\Gamma:=\{S:D\to\Sigma\; :\; D\subset[0,\,c],\, S\; \mathrm{ monotone }, \forall t\in D\; (\mu\left (S(t)\right)=t)\},$

упорядоченному по включению графиков. Далее стандартным образом показывается, что всякая цепь в $\Gamma$ имеет максимальный элемент, а любой максимальный элемент $\Gamma$ имеет область определения $[0,c]$, что и доказывает утверждение.

См. также

• Дельта-функция Дирака
• Элементарные события, известные также как события-атомы

Ссылки

1. ↑ W. Sierpinski. Sur les fonctions d'ensemble additives et continues. Fundamenta Mathematicae, 3:240-246, 1922.
2. ↑ Fryszkowski, Andrzej Fixed Point Theory for Decomposable Sets (Topological Fixed Point Theory and Its Applications). — Springer. — P. 39. — ISBN 1-4020-2498-3

• Bruckner, Andrew M.; Bruckner, Judith B.; Thomson, Brian S. Real analysis. — Upper Saddle River, N.J.: Prentice-Hall, 1997. — P. 108. — ISBN 0-13-458886-X

• Butnariu, Dan; Klement, E. P. Triangular norm-based measures and games with fuzzy coalitions. — Dordrecht: Kluwer Academic, 1993. — P. 87. — ISBN 0-7923-2369-6