Звезда (геометрия)

Правильная четырёхконечная звезда

У этого термина существуют и другие значения, см. Звезда (значения).

Для улучшения этой статьи желательно?: Найти и оформить в виде сносок ссылки на авторитетные источники, подтверждающие написанное.

Звезда — определённый вид плоских невыпуклых многоугольников, не имеющий, однако, однозначного математического определения. Обычно под звёздами подразумевают фигуры, напоминающие по форме изображение звезды.

Одно из определений

Правильной геометрической звездой можно было бы считать фигуру, вписанную в равносторонний многоугольник, построенный в окружности произвольного радиуса, так чтобы вершины многоугольника совпадали с вершинами звезды. Правильные звёзды могут быть построены с числом сторон не менее пяти. Все звёзды, построенные в многоугольниках с числом сторон 5 и более характеризуются определёнными соотношениями угла между соседними вершинами к углу самих вершин, выраженными двумя целыми числами, в зависимости от числа сторон исходного многоугольника. Если число сторон исходного многоугольника чётное, то соотношение равно 2 (двум), т.е. угол между соседними вершинами в два раза больше угла самих вершин звёзд с числом вершин 6 и более. Если число сторон исходного многоугольника нечётное, то соотношение угла между соседними вершинами к углу самих вершин звёзд равно 3 (трём). Так например, угол между соседними вершинами пятиконечной звезды (нечётное число сторон исходного многоугольника)равен 108 градусов, а угол самой вершины равен 36 градусам. Отношение 108 к 36 равно трём. Угол между соседними вершинами десятиконечной звезды (чётное число исходного многоугольника)равен 72 градусам, а угол самой вершины равен 36 градусам, т.е отношение 72 к 36 равно 2 (двум). Интересно отметить, что восьмиконечная (восьмивершинная) звезда, помимо основного соотношения углов равного 2(двум), построенного путём поворота одного из двух наложенных квадратов на 45 градусов вокруг общего центра, имеет соотношение углов 1,5 (полтора),т.е. угол между вершинами составляет 135 градусов, а угол вершины 45 градусов. По-видимому, эту 8-вершинную зввезду нельзя отнести к категории правильных геометрических звёзд. Восьмиконечная звезда с обычным соотношением этих углов (2) имеет угол между вершинами 90 градусов, а угол самой вершины составляет 45 градусов. Использование равностороннего треугольника и квадрата для построения правильных 3-конечной и 4-конечной звёзд описанным способом не представляется возможным. Для построения этих звёзд можно использовать соответственно равносторонние шестиугольник и восьмиугольник. При этом можно построить произвольное число трёхконечных и четырёхконечных звёзд, но ни одна из них не будет соответствовать данным соотношениям углов.

Другое определение

Пятиконечная звезда {5/2}, вписанная в правильный пятиугольник {5/1}

Пентаграмма Пенроуза

Другое, отличное от предыдущего, понятие звезды связано со способом построения, который состоит в том, что по кругу симметрично ставятся n точек и они соединяются между собой, при этом каждая точка соединяется со следующей, m-ной от неё при счёте по кругу, через некоторое количество точек (m - 1) (при m = 1 точки соединяются подряд и получается выпуклый правильный многоугольник). Звезда, полученая таким образом, обозначается символом {n/m}. При этом точки пересечения сторон между собой не рассматриваются как вершины. Такая звезда имеет n вершин и n сторон, также как и правильный n-угольник. Её также называют звёздчатым многоугольником, и она является звёздчатой формой соответствующего ей n-угольника.

Соотношение радиусов 2 окружностей правильной звезды с вышеприведённым вариантом построения: внешней (на которой лежат вершины углов лучей звезды) и внутренней (на которой лежат точки пересечения сторон соседних лучей) вычисляется по формуле:

$\frac{\cos\left(\frac{\pi}{n}\times m\right)}{\cos\left(\frac{\pi}{n}\times (m-1)\right)}$

Звёзды могут быть связными (нераспадающимися едиными многоугольниками), не являясь соединениями других правильных или звёздчатых многоугольников, а могут быть несвязными, распадаясь на несколько одинаковых правильных многоугольников или связных звёзд.

Треугольник Рёло

Bogenvieleck

Многоугольника Рёло, построенного на неправильном равностороннем звёздчатом семиугольнике

Двумерное дискретное множество звёзд.
Пурпурные — выпуклые многоугольники.
Зелёные — связные звёзды {n/m} (где n и m взаимно простые числа), см. также Фигуры Лиссажу.
Чёрные — не связные звёзды {n/m} (где n и m не взаимно простые числа).
Синие прямые соединяют многоугольник (выпуклый или связную звезду) со всеми не связными звёздами, являющимися соединениями (после поворота) разного количества одинаковых многоугольников, таких же как этот

Многообразие звёзд

В природе

• Морская звезда

Шахматы

• На шахматной доске в поле 3х3 траектория коня образует восьмиконечную звезду

См. также

• Звёздчатый многогранник
• Звёздчатый многоугольник
• Звёздная область
• Пифагорейский пентакл
• Пентаграмма
• Октаграмма
• Ромб
• Энеаграмма

Ссылки

Звёздчатые многоугольники — звёздчатые иллюзии