ДЕЙСТВИТЕЛЬНОЕ АЛГЕБРАИЧЕСКОЕ МНОГООБРАЗИЕ

- множество A = X(R)действительных точек алгебраич. многообразия X, определенного над полем R действительных чисел. Д. а. м. наз. неособым, если X- неособое алгебраич. многообразие. В этом случае Аявляется гладким многообразием, а его размерность dim Аравна размерности комплексного многообразия СА = Х (С), называемого комплексификацией многообразия А.

Наиболее изучены неособые регулярные полные пересечения, т. е. многообразия Xв проективном пространстве RP^q, являющиеся неособыми регулярными пересечениями гиперповерхностей где

Pi(z)- однородный действительный многочлен от qпеременных степени m_i. В этом случае матрица имеет ранг s в каждой точке dim A = n=q-s.

Пусть Вобозначает Д. а. м., определяемое усеченной системой

Примеры регулярных полных пересечений:

1) Плоская действительная алгебраич. кривая; при этом q=2, s=l, СВ = СР ², B=RP².

2) Действительная алгебраич. гиперповерхность; при этом s=l, СВ = СР ^q, B = RP^q. В частности, при q=3 получается действительная алгебраич. поверхность.

3) Действительная алгебраическая пространствен" ная кривая; при этом q=3, s=2. Поверхность Взадается уравнением p₁(z)=0, а кривая Авысекается на Вповерхностью p₂(z)=0.

Плоская действительная алгебраич. кривая Апорядка т ₁ состоит в плоскости RP² из конечного числа компонент, диффеоморфных окружности. При т ₁ четном все они вложены в RP² двусторонне, а при т ₁ нечетном одна компонента вложена односторонне, а остальные - двусторонне. Двусторонне вложенная компонента кривой Аназ. овалом кривой А. Овал, лежащий внутри нечетного числа других овалов кривой А, наз. нечетным, остальные овалы наз. четными.

Число компонент плоской действительной алгебраич. кривой порядка т ₁ не превосходит (теорема Гарнака), [1]. Для каждого т ₁ существует плоская действительная алгебраич. кривая с этим наибольшим числом компонент - М-к ривая (о способах построения M-кривых см. [1], [2], [3], об обобщении этих результатов на пространственные кривые см. [2]).

Д. Гильберт (D. Hilbert) в 1900 поставил задачу изучения топологии Д. а. <м., а также вложений Д. а. м. в RP^q и одного Д. а. м. в другое Д. а. м. (16-я проблема Гильберта). Он указал также трудные частные задачи: изучить взаимное расположение овалов кривой 6-го порядка, топологию и вложение в RP³ действительной алгебраич. поверхности 4-го порядка. Эти частные задачи решены (см. [12], [13]).

Для плоской действительной алгебраич. кривой Ачетного порядка т ₁ выполняется точное неравенство

где Р- число четных овалов кривой А, а N- число ее нечетных овалов (теорема Петровского).

Если т ₁ нечетно, то аналогичное неравенство выполнено для где L- прямая в общем положении [4]. При обобщении этих результатов на случай действительной алгебраич. гиперповерхности четного порядка роль разности Р-Nиграет эйлерова характеристика c( В ₊), где если же qнечетно, то роль Р-Nиграет c(А). Так, для действительной алгебраич. гиперповерхности Ачетного порядка т ₁

где s(g; m_x)- число членов многочлена

степень которых не превосходит при нечетном qи любом т ₁

(см. [5]). Для действительной алгебраической пространственной кривой (в RP³ )при четном т ₁ выполняется неравенство

(в случае т ₁ = 2 эта оценка точная) (см. [6]). Имеются обобщения теорем Петровского на произвольные Д. а. м. (см. [10]).

Для плоской действительной алгебраич. M-кривой четного порядка m₁ выполняется сравнение

(см. [8], [9], [13]). При доказательстве этого сравнения (см. [8], [9]) были применены для изучения Д. а. м. методы дифференциальной топологии, в форме стимулирующей дальнейшие исследования. Пусть плоская действительная алгебраич. кривая Аимеет четный порядок т=2k, знак перед р(z)выбран так, что В ₊ ориентируемо, а Р ₊, Р ₀, Р_ обозначают соответственно число овалов кривой А, ограничивающих внешним образом компоненту множества В ₊ с положительной, нулевой и отрицательной эйлеровыми характеристиками. Аналогично, N₊ ,N₀, N_- - числа таких же нечетных овалов для Тогда (см. [8], [13])

где

Для произвольного Д. а. м. в g-мерном проективном пространстве выполнено неравенство

где - пространство гомологии многообразия Ас коэффициентами в Z₂ (см. [9]). Это неравенство является обобщением теоремы Гарнака. Если

(tвсегда целое), то А, наз. (М-t)-многообразием. При t=0 Аесть M-многообразие,

Доказаны следующие сравнения:

A) Для М-многообразия Апри четном п

где s( СА)- сигнатура многообразия СА (см. [9]).

B) Для (M-1)-многообразия Апри четном п

(см. обзор [13]).

C) В случае регулярного полного пересечения, если п. четно, Аесть (М-1)-многообразие и гомоморфизм включения

нулевой, то

и

В этом же случае, если пчетно, Аесть (М-2)-многообразие и i_*- нулевой, то

(см. [11]).

В частности, для действительной алгебраич. поверхности Апорядка т ₁

если Аесть М-поверхность, то

если Аесть (М-1)-поверхность, то

если Аесть (М-1)-поверхность и стягивается в RP³ в точку, то m₁=2mod 4 и

Если Аесть (М-2)-поверхность и стягивается в RP³ в точку, то

Доказаны также нек-рые сравнения при нечетном п(см. [9], [13]). В частности, для плоской действительной алгебраич. кривой А, являющейся (М-1)-кривой четного порядка т ₁:

Имеются некоторые результаты о Д. а. м. с особенностями (см. обзор [13]). Интересный подход к изучению Д. а. м. предложен в [14].

Лит.:[1] Harnack A., "Math. Ann.", 1876, Bd 10, S. 189-99; [2] HilbertD., там же, 1891, Bd 38, S. 115- 38; [3] eго же, "Arch. Math. Phys." (3), 1901, Bd 1, S. 213-37; [4] Петровский И. Г., "Ann. Math.", 1938, v. 39, № 1, p. 189 - 209; [5] Олейник О. А., Петровский И. Г., "Изв. АН СССР. Сер. матем.", 1949, т. 13, с. 389-402; [6] Олейник О. А., "Матем. сб.", 1951, т. 29, с. 133-56; [7] Проблемы Гильберта, М., 1969; [8] Арнольд В. И., "Функциональный анализ", 1971, т. 5, № 3, с. 1-9; [9] Рохлин В. А., там же, 1972, т. 6, № 4, с. 58-64; 1973, т. 7, № 2, с. 91-92; [10] Харламов В. М., "Функциональный анализ", 1974; т. 8, № 2, с. 50-56; 1975, т. 9, № 3, с. 93-94; [11] его же, там же, 1975, т. 9, № 2, с. 51-60; [12] его же, там же, 1976, т. 10, № 4, с. 55-68; [13] Гудков Д. А., "Успехи матем. наук", 1974, т. 29, в. 4, с. 3-79; [14] Сулливан Д., Геометрическая топология, пер. с англ., М., 1975.

Д. А. Гудков.