ПОЛЯРИЗОВАННОЕ АЛГЕБРАИЧЕСКОЕ МНОГООБРАЗИЕ

- пара (V,x)> где V - полное гладкое многообразие над алгебраически замкнутым полем k,| из Pic V/Pic^oV - класс нек-рого обильного обратимого пучка, Pic^oV-связная компонента абелевой схемы Пикара Pic V. В случае, когда V - абелево многообразие, определено также понятие степени поляризации П. а. м.; она совпадает со степенью изогении , определяемой пучком , а именно : где Т _х - морфизм сдвига на . Поляризация степени 1 наз. главной поляризацией.

Понятие П. а. м. тесно связано с понятием поляризованного семейства алгебраич. многообразий. Пусть

- семейство многообразий с базой S, то есть f - гладкий проективный морфизм схемы Xна нётерову схему S, слоями к-рого являются алгебраич. многообразия. Поляризованным семейством наз. пара (X/S,x/S), где X/S - семейство

с базой S,a x/S - класс относительно обильного обратимого пучка в Ноm (5, Pic X/S).по модулю Нот(S, Pic^oX/S), где Pic X/S- относительная схема Пикара.

Введение понятий поляризованного семейства и П. а. м. необходимо для построения пространств модулей алгебраич. многообразий (см. Модулей теория). Так, напр., не существует пространства модулей всех гладких алгебраич. кривых рода , а для поляризованных кривых такое пространство модулей существует [4]. Одним из первых вопросов, связанных с понятием поляризации многообразий, является вопрос об одновременном погружении в проективное пространство поляризованных многообразий с фиксированными численными инвариантами. Если (V,x) содержится в качестве слоя в поляризованном семействе (X/S,x/S) со связной базой S и относительно обильным пучком

, то существует ли такая константа с, зависящая только от многочлена Гильберта , что при п>с пучки с многочленом Гильберта h(n).и с при i>0 очень обильны для всех П. а. м. (X_s,x_s), где ? Для гладких П. а. м. над алгебраически замкнутым полем характеристики 0 ответ на этот вопрос положителен [3], а в случае поверхностей основного типа с канонич. поляризацией константа сне зависит даже от многочлена Гильберта (см. [1], [2]).

Лит.: [1] Bombieri E., "Рubl. math. IHES", 1972, М 42, р. 447-95; [2] Коdairа К., "J. Math. Soc. Jap.", 1968, v. 20, № 1-2, p. 170-92; [3] Matsusakа Т., Мumford D., "Amer. J. Math.", 1964, y. 86, № 3, p. 668-84; [4] Mumford D., Geometric invariant theory, В., 1965.

В. С. Куликов.