Автоморфизм Фробениуса

Автоморфизм Фробениуса

Автоморфизм Фробениусаавтоморфизм конечного поля \mathbb{F}_{q^m} над полем \mathbb{F}_{q}, где q - степень простого числа. Автоморфизм Фробениуса задается формулой x\mapsto x^q. Группа автоморфизмов \mathbb{F}_{q^m} над \mathbb{F}_{q} носит также название группы Галуа поля \mathbb{F}_{q^m} над \mathbb{F}_{q}. Группа Галуа \mathbb{F}_{q^m} над \mathbb{F}_{q} является циклической, а значит поле \mathbb{F}_{q^m} является циклическим расширением поля \mathbb{F}_{q}.

Свойства

  • Автоморфизм Фробениуса \sigma является автоморфизмом: \sigma(a+b)=\sigma(a)+\sigma(b), \sigma(ab)=\sigma(a)\sigma(b).
  • Автоморфизмы \sigma^j переводят любой элемент \alpha в ему сопряженные
  • Автоморфизм Фробениуса оставляет на месте элементы основного поля \mathbb{F}_q.
  • Если f - многочлен степени m над \mathbb{F}_q, то он имеет корень \alpha в \mathbb{F}_{q^m} и все его m корней \alpha_j получаются применением m раз автоморфизма Фробениуса к \alpha: \alpha_j=\sigma_j(\alpha).
  • Поскольку (\forall f\in \mathbb{F}_{q^m}) f^{q^m}=f, \sigma^m=1, а все автоморфизмы \sigma,\sigma^2,...\sigma^m различны. Также, автоморфизмы \sigma,\sigma^2,...\sigma^m исчерпывают все возможные автоморфизмы \mathbb{F}_{q^m} над \mathbb{F}_{q}, так что группа Галуа Gal(\mathbb{F}_{q^m},\mathbb{F}_{q}) является циклической с образующим элементом \sigma_1.

Литература

  • Лидл Р. Нидеррайтер Г. Конечные поля. В 2-х тт. — М.: Мир, 1998.

См. также


Wikimedia Foundation. 2010.

Игры ⚽ Поможем сделать НИР

Полезное


Смотреть что такое "Автоморфизм Фробениуса" в других словарях:

  • ФРОБЕНИУСА АВТОМОРФИЗМ — элементгруппы Галуа специального вида, играющий фундаментальную роль в теории нолей классов. Пусть L алгебраич. расширение конечного поля К. Тогда Ф. а. наз. автоморфизм определяемый формулой для всех где (мощность К). Если L/К конечное… …   Математическая энциклопедия

  • ПОЛЕЙ КЛАССОВ ТЕОРИЯ — теория, дающая описание всех абелевых расширений (конечных расширений Галуа с абелевой группой Галуа) поля К, принадлежащего к одному из следующих типов: 1) К поле алгебраич. чисел, т. е. конечное расширение поля ; 2) К конечное расширение поля… …   Математическая энциклопедия

  • АЛГЕБРАИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ ЧИСЕЛ — раздел теории чисел, основной задачей к рого является изучение свойств целых чисел полей алгебраических чисел конечной степени над полем рациональных чисел. Все целые числа поля расширения К поля степени п могут быть получены с помощью… …   Математическая энциклопедия

  • ГАЛУА ПОЛЕ — конечное поле, поле, число элементов к рого конечно. Г. п. впервые рассматривалось Э. Галуа (Е. Galois, см. [1], с. 35 47). Число элементов любого Г. п. есть степень нек рого натурального простого числа , являющегося характеристикой этого поля.… …   Математическая энциклопедия


Поделиться ссылкой на выделенное

Прямая ссылка:
Нажмите правой клавишей мыши и выберите «Копировать ссылку»