ε-окрестность

$\varepsilon$-окре́стность множества в функциональном анализе и смежных дисциплинах — это такое множество, каждая точка которого удалена от данного множества менее, чем на $\varepsilon$.

Определения

• Пусть $(X,\varrho)$ есть метрическое пространство, $x_0 \in X,$ и $\varepsilon > 0.$ $\varepsilon$-окрестностью $x_0$ называется множество

$U_{\varepsilon}(x_0) = \{ x\in X \mid \varrho(x,x_0) < \varepsilon \}.$

• Пусть дано подмножество $A \subset X.$ Тогда $\varepsilon$-окрестностью этого множества называется множество

$U_{\varepsilon}(A) = \bigcup\limits_{x \in A} U_{\varepsilon}(x).$

Замечания

• $\varepsilon$-окрестностью точки $x_0$ таким образом называется открытый шар с центром в $x_0$ и радиусом $\varepsilon.$
• Прямо из определения следует, что

$U_{\varepsilon}(A) = \{ x\in X \mid \exists y\in A\; \varrho(x,y) < \varepsilon\}.$

• $\varepsilon$-окрестность является окрестностью и, в частности, открытым множеством.

Примеры

Пусть есть вещественная прямая $\mathbb{R}$ со стандартной метрикой $\varrho(x,y) = |x-y|,\; x,y \in \mathbb{R}.$ Тогда

• $U_2(1) = (-1,3);$
• $U_1([5,7]) = (4,8).$

См. также

• Окрестность
• Шар (метрическая геометрия)