- Фундаментальная матрица
-
Фундамента́льная ма́трица
− матрица, столбцы которой образуют фундаментальную систему решений некоторой системы дифференциальных уравнений. Фундаментальная матрица
, нормальная в точке
, выделяется из множества фундаментальных матриц условием
, где
— единичная матрица. Фундаментальная матрица с переставленными столбцами, очевидно сохраняет свойство фундаментальности и нормальности в
.
Критерий фундаментальности
Наряду с линейной системой дифференциальных уравнений рассмотрим соответствующее матричное уравнение
, в котором неизвестная функция
принимает значения в пространстве
всех квадратных
— матриц с элементами из
.
Докажем, что для того чтобы заданная матрица-функция
была фундаментальной матрицей линейной системы дифференциальных уравнений необходимо и достаточно, чтобы она была решением матричного уравнения (
) и имела в некоторой точке
ненулевой определитель. В этом случае он будет отличен от нуля в любой точке
. Фундаментальная матрица является нормальной в точке
, если и только если она удовлетворяет матричному начальному условию
.
Доказательство. Заметим, что матричная функция
будет решением матричного уравнения в том и только том случае, когда любой её столбец φk является решением линейной однородной системы. Действительно, равенство
-х столбцов в матричное уравнение имеет вид
, что совпадает с линейной однородной системой. Теперь сформулированный критерий вытекает непосредственно из определений и теоремы о структуре множества решений линейной однородной системы, поскольку линейная независимость столбцов определителя эквивалентна, как устанавливалось в курсе алгебры, отличию этого определителя от нуля.
Для улучшения этой статьи по математике желательно?: - Найти и оформить в виде сносок ссылки на авторитетные источники, подтверждающие написанное.
- Викифицировать статью.
- Проставить интервики в рамках проекта Интервики.
Категория:- Типы матриц
Wikimedia Foundation. 2010.