Теорема Сохоцкого

График фунции комплексного переменного e^1/z.
Центрирован относительно существенно особой точки z = 0.
Цвет отражает аргумент, а яркость — модуль значения функции.

Теорема Сохоцкого-Вейерштрасса — теорема комплексного анализа, описывающая поведение голоморфной функции в окрестности существенной особой точки.

Она гласит, что всякая однозначная аналитическая функция в каждой окрестности существенно особой точки принимает значения, сколь угодно близкие к произвольному наперёд заданному комплексному числу^[1].

Была опубликована Ю. В. Сохоцким в 1868 году в его магистерской диссертации^{[K 1]}; в ней доказывалось, что «в полюсе бесконечного порядка» (так была названа существенно особая точка) функция «должна принимать всевозможные значения» (под значением функции в этой точке в этой работе понималось предельное значение по сходящейся к ней последовательности точек)^[2].

Одновременно с Сохоцким теорему о плотности образа проколотой окрестности существенно особой точки опубликовал итальянский математик Ф. Казорати в своей работе «Теория функций комплексных переменных»^{[K 2]}. Вейерштрасс опубликовал эту теорему только в 1876 году в работе «К теории однозначных аналитических функций»^{[K 3][3]}. Впервые же она встречается у французских математиков Ш. Брио и Ж. К. Буке в работе по теории эллиптических функций^{[K 4][1]}.

Сохоцкий нигде не отстаивал своего приоритета по поводу этого и других своих результатов, приписывавшихся другим^[2]; в литературе на европейских языка теорема известна как «теорема Казорати-Вейерштрасса».

Формулировка

Каково бы ни было $\,\varepsilon > 0$, в любой окрестности существенно особой точки $\,z_0$ функции $\,f(z)$ найдётся хотя бы одна точка $\,z_1$, в которой значение функции $\,f(z)$ отличается от произвольно заданного комплексного числа B меньше, чем на $\,\varepsilon$.

Доказательство

Предположим, что теорема неверна, т.е.

$\exists B \in \mathbb{C} \qquad \exists \varepsilon >0 \qquad \exists \eta_0 >0 : \qquad \forall z : |z-z_0|<\eta_0$

$|f(z) - B| >\varepsilon$

Рассмотрим вспомогательную функцию $\psi(z)=\frac{1}{f(z)-B}$. В силу нашего предположения функция $\psi(z)$ определена и ограничена в $\eta_0$-окрестности точки $z_0$. Следовательно $z_0$ - устранимая особая точка $\psi(z)$^[4]. Это означает, что разложение функции $\psi(z)$ в окрестности точки $z_0$ имеет вид:

$\psi(z) = (z-z_0)^m \stackrel{\sim}{\varphi}(z) \qquad \stackrel{\sim}{\varphi}(z) \neq 0$.

Тогда, в силу определения функции $\psi(z)$, в данной окрестности точки $z_0$ имеет место следующее разложение функции $f(z)$:

$f(z) = (z-z_0)^{-m}\varphi(z)+B$,

где аналитическая функция $\varphi(z)=\frac{1}{\stackrel{\sim}{\varphi}(z)}$ ограничена в $\eta_0$-окрестности точки $z_0$. Но такое разложение означает, что точка $z_0$ является полюсом или правильной точкой функции $f(z)$, и разложение последней в ряд Лорана должно содержать конечное число членов, что противоречит условию теоремы.

■

Эквивалентным образом эта теорема может быть переформулирована следующим образом:

• Если точка $z_0$ является существенно особой для функции $f(z)$, аналитической в некоторой проколотой окрестности $U=\{z:\,0<|z-z_0|<\varepsilon\}$, то для произвольного комплексного числа $w$ можно найти последовательность $\{z_n\}\subset U$, сходящуюся к $z_0$, для которой $\{f(z_n)\}\to w$.
• множество значений голоморфной функции в сколь угодно малой проколотой окрестности её существенной особой точки всюду плотно в $\C$.

Комментарии

1. ↑ Теория интегральных вычетов с некоторыми приложениями. — СПб., 1868.
2. ↑ Сasоrаti F. Teorica delle funzioni di variabili complesse. — Pavia, 1868.
3. ↑ Weierstrass K. Zur Theorie der eindeutigen analytischen Funktionen // Math. Werkc, Bd 2, В. — P. 77-124.
4. ↑ С. Вriot, I. Bouquet. Theorie des fonctions doublement periodiques et em particulier des fonctions elliptiques. — 1859.

Cсылки

1. ↑ ^{1 2} Сохоцкого-Вейерштрасса теорема // Большая Советская Энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия, 1969-1978.
2. ↑ ^{1 2} Б. В. Шабат. Распределение значений голоморфных отображений. — М.: Наука, Главная редакция физико-математической литературы, 1982..
3. ↑ И. М. Виноградов. Сохоцкого теорема // Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия, 1977—1985..
4. ↑ Этот факт доказывается с помощью мажорантной оценки разложения функции в ряд Лорана.

Литература

• Евграфов М. А. Аналитические функции. — М.: Наука. — 1968, 448 стр.
• Шабат Б. В. Введение в комплексный анализ. — М.: Наука. — 1969, 577 стр.