Ряд Лиувилля

Ряд Лиуви́лля — Не́ймана в интегральном исчислении — бесконечный ряд, соответствующий решению интегрального уравнения Фредгольма с непрерывным малым ядром. Назван по именам Жозефа Лиувилля и Карла Неймана.

Получение ряда

Будем искать решение уравнения Фредгольма

$u(x)=\lambda\int\limits_G K(x,\;y)u(y)\,dy+f(x)$

методом последовательных приближений, положив $u^{(0)}(x)=f(x)$:

$u^{(p)}(x)=\lambda\int\limits_G K(x,\;y)u^{(p-1)}(y)\,dy+f(x)=\lambda(Ku^{(p-1)})(x)+f(x),\quad p=1,\;2,\;\ldots$

Последнее выражение в формуле является операторной записью интеграла. Методом математической индукции проверяется следующее равенство:

$u^{(p)}=\sum_{k=0}^p\lambda^k(K^kf)(x),\quad p=0,\;1,\;\ldots$

Функции $(K^pf)(x)$ называются итерациями. Можно показать, что все итерации непрерывны и ограничены на $G$:

$\|K^pf\|_C=\|K(K^{p-1}f)\|_C\leqslant M\mathrm{mes}\,G\|K^{p-1}f\|_C\leqslant\ldots\leqslant (M\mathrm{mes}\,G)^p\|f\|_C,\quad p=0,\;1,\;\ldots,$

где $\mathrm{mes}\,G$ — мера множества $G$, а $M=\max_G|K(x,\;y)|$.

Из этой оценки следует, что ряд

$\sum_{k=0}^\infty\lambda^k(K^kf)(x),\quad x\in G,$

называемый рядом Лиувилля — Неймана, мажорируется числовым рядом

$\|f\|_C\sum_{k=0}^\infty|\lambda|^k(M\mathrm{mes}\,G)^k=\frac{\|f\|_C}{1-|\lambda|M\mathrm{mes}\,G},$

сходящимся в круге $|\lambda|<1/(M\mathrm{mes}\,G)$, поэтому при таких $\lambda$ ряд Лиувилля — Неймана сходится регулярно (абсолютно и равномерно). Это значит, что последовательные приближения $u^{(p)}(x)$ при $p\to\infty$ равномерно стремятся к искомой функции $u(x)$.

См. также

• Резольвента интегрального уравнения
• Ряд Неймана

Литература

• Владимиров В. С., Жаринов В. В. Уравнения математической физики. — М.: Физматлит, 2004. — ISBN 5-9221-0310-5.