Ряд Гранди

Бесконечный ряд 1 − 1 + 1 − 1 + …, или

$\sum_{n=0}^{\infin} (-1)^n$,

иногда называемый рядом Гранди в честь итальянского математика, философа и священника Гвидо Гранди. В обычном смысле, этот ряд является расходящимся. С другой стороны, его сумма по Чезаро равна 1/2.

Эвристические соображения

Один из очевидных методов нахождения суммы ряда

1 − 1 + 1 − 1 + 1 − 1 + 1 − 1 + … -

воспринимать его как телескопический ряд и попарно сгруппировать члены:

(1 − 1) + (1 − 1) + (1 − 1) + … = 0 + 0 + 0 + … = 0.

С другой стороны, похожим способом можно получить другой ответ:

1 + (−1 + 1) + (−1 + 1) + (−1 + 1) + … = 1 + 0 + 0 + 0 + … = 1.

Таким образом, различной расстановкой скобок в ряде Гранди, можно получить в качестве суммы и 0, и 1. (Вариации этой идеи, называемые мошенничеством Эйленберга-Мазура, используются в теории узлов и алгебре).

Если считать ряд Гранди расходящейся геометрической прогрессией, то, используя те же методы что и при работе со сходящимися геометрическими прогрессиями, можно получить третье значение, 1/2:

$\sum_{n=0}^\infty (-1)^n = 1 - 1 + 1 - 1 + ...$

$1 - \sum_{n=0}^\infty (-1)^n = 1 - (1 - 1 + 1 - ...) = 1 - 1 + 1 - 1 + ... = \sum_{n=0}^\infty (-1)^n$

$1 - \sum_{n=0}^\infty (-1)^n = \sum_{n=0}^\infty (-1)^n$

$\sum_{n=0}^\infty (-1)^n = \frac{1}{2}$.

В предыдущих рассуждениях не учитывается, что в действительности означает «сумма ряда». Поскольку важно уметь брать части ряда в скобки, а также производить арифметические действия с рядами, можно прийти к двум выводам:

• Ряд 1 — 1 + 1 — 1 + … не имеет суммы.^[1][2]
• …но его сумма должна быть равна 1/2.^[2]

На самом деле, оба утверждения могут быть точно сформулированны и формально доказаны, но только с использованием четко определенных математических принципов, которые возникли лишь в 19 м веке. После того, как в конце 17го века в Европе были заложены основы анализа, и до прихода современной строгости, разница между ответами давала пищу для «бесконечных» и «яростных» споров между математиками.^[3][4]

Ранние идеи

Основная статья: История ряда Гранди

Расходимость

В современной математике сумма ряда определяется как предел последовательности частичных сумм, если он существует. Последовательность частичных сумм ряда Гранди, 1, 0, 1, 0, …,, очевидно, не стремится ни к одному числу (хотя и обладает двумя предельными точкам, 0 и 1). Таким образом, ряд Гранди расходится.

Можно показать, что применение таких интуитивно безвредных операций, как перестановка членов, к рядам, не являющимся абсолютно сходящимся, может привести к изменению суммы. Несложно увидеть, как можно переставить члены ряда Гранди так, чтобы получить любое целое число, а не только 0 и 1.

• E. W. Hobson, The theory of functions of a real variable and the theory of Fourier’s series (Cambridge University Press, 1907), section 331. The University of Michigan Historical Mathematics Collection [1]

• E. T. Whittaker and G. N. Watson, A course of modern analysis, 4th edition, reprinted (Cambridge University Press, 1962), section 2.1.

Образование

Основная статья: Ряд Гранди в образовании

Суммируемость

Основная статья: Суммирование ряда Гранди

Связанные задачи

Основная статья: Приложения ряда Гранди

См. также

• 1 − 2 + 3 − 4 + …

Примечания

1. ↑ Devlin p.77
2. ↑ ^{1 2} Davis p.152
3. ↑ Kline 1983 p.307
4. ↑ Knopp p.457

Ссылки

• Davis Harry F. Fourier Series and Orthogonal Functions. — Dover, 1989. — ISBN 0-486-65973-9
• Devlin Keith Mathematics, the science of patterns: the search for order in life, mind, and the universe. — Scientific American Library, 1994. — ISBN 0-7167-6022-3
• Kline, Morris (November 1983). «Euler and Infinite Series». Mathematics Magazine 56 (5): 307–314. DOI:10.2307/2690371.
• Knopp Konrad Theory and Application of Infinite Series. — Dover, 1990. — ISBN 0-486-66165-2