Позиционные коды векторов

Специальная алгебра многомерных векторов^[1]

Специальное умножение

В этой алгебре умножение определяется по аналогии с умножением комплексных чисел следующим образом. Таблица умножения комплексных чисел имеет вид

$\circledast$	1	i
1	1	i
i	i	-1

где i - мнимая единица. Таблица умножения трехмерных векторов имеет вид

$\circledast$	i	j	k
i	i	j	k
j	j	k	-i
k	k	-i	-j

где i, j, k - орты. Таблица умножения четырехмерных векторов имеет вид

$\circledast$	i	j	k	m
i	i	j	k	m
j	j	k	m	-i
k	k	m	-i	-j
m	m	-i	-j	-k

где i, j, k, m - орты, и т.д. Этим вполне определяется умножение векторов ^[2]. Однако, это умножение не имеет ничего общего с векторным или скалярным умножением векторов и, в отличие от них, обозначается в дальнейшем символом $\circledast$ и называется специальным умножением. Умножение, определенное такими таблицами для ортов, является ассоциативным и коммутативным. Следовательно, специальное умножение любых векторов векторного пространства также будет ассоциативным и коммутативным ^[2]. Таким образом, множество всех n-мерных векторов составляет кольцо относительно операций обычного сложения и специального умножения. Иными словами, указанные таблицы определяют в n-мерном пространстве ассоциативную и коммутативную алгебру без деления ^[2].
Вектор не изменяется при умножении на орт $\mathbf i$.

Деление ^[3]

Деление в этой алгебре определяется как операция, обратная умножению. Однако, если деление чисел недопустимо только при делителе, равном нулю, то в этой алгебре деление недопустимо при множестве значений делителя. Это множество для, например, трехмерных векторов определяется следующим образом. Если вектор делителя

$B = a\mathbf i+b\mathbf j+c\mathbf k$,

то множество недопустимых значений этого делителя определяется условием

$\ B = a^3-b^3+c^3+3abc=0$.

Возведение в целую степень

Вектор в нулевой степени равен $\mathbf i$.
Возведение вектора в целую степень n > 0 определяется как многократное умножение. Например, для ортов трехмерных векторов

$\mathbf i^n = \mathbf i$,

$\mathbf j^1 = \mathbf j, \mathbf j^2 = \mathbf k, \mathbf j^3 = -\mathbf i, \mathbf j^4 = -\mathbf j, \mathbf j^5 = -\mathbf k, \mathbf j^6 = \mathbf i$,

$\mathbf k^1 = \mathbf k, \mathbf k^2 = -\mathbf j, \mathbf k^3 = \mathbf i$.

Для трехмерных векторов выполняется условие $\mathbf j \circledast \mathbf k = -\mathbf i$. Следовательно, $\frac{\mathbf i}{\mathbf k} = -\mathbf j$ , $\frac{\mathbf i}{\mathbf j} = -\mathbf k$ и $\mathbf j^{-1}= -\mathbf k$ , $\mathbf j^{-1}= -\mathbf k$. Таким образом, орт в степени (-1) определяется непосредственно из таблицы умножения.
Возведение орта в целую степень n < 0 определяется как многократное умножение известного вектора - орта в степени (-1).

Покомпонентное умножение

Этот термин используется для наименования операции (здесь и далее рассматриваются трехмерные векторы) специального умножения вектора

$\mathbf A=x_1 \mathbf i + y_1 \mathbf j+ z_1 \mathbf k$

на упорядоченную тройку векторов $(\mathbf B, \mathbf C, \mathbf D)$. Покомпонентное умножение обозначается как

$\mathbf Z=\mathbf A \circledast (\mathbf B, \mathbf C, \mathbf D)$

и состоит в вычислении по формуле

$\mathbf Z = x_1 \mathbf i \circledast \mathbf B + y_1 \mathbf j \circledast \mathbf C + z_1 \mathbf k \circledast \mathbf D$.

Если

$\mathbf Z=x \mathbf i + y \mathbf j+ z \mathbf k, \ \mathbf B=x_2 \mathbf i + y_2 \mathbf j+ z_2 \mathbf k, \ \mathbf C=x_3 \mathbf i + y_3 \mathbf j+ z_3 \mathbf k, \ \mathbf D=x_4 \mathbf i + y_4 \mathbf j+ z_4 \mathbf k,$

то

$\ x=x_1x_2-y_1z_3-z_1y_4, \ y=x_1y_2-y_1x_3-z_1z_4,\ z=x_1z_2+y_1y_2+z_1x_4.$

Взаимосвязь с традиционными операциями

Применяя последнюю формулу, можно выразить традиционные операции с векторами через покомпонентное умножение.

Скалярное умножение

$\mathbf Z = \mathbf A \mathbf B=\mathbf A \circledast (x_2 \mathbf i, -y_2 \mathbf k, -z_2 \mathbf j)$,

где вектор $\mathbf Z$ имеет орт $\mathbf i$.

Векторное умножение

$\mathbf Z = \mathbf A \times \mathbf B=\mathbf A \circledast ((-z_2 \mathbf j+y_2 \mathbf j), (-x_2 \mathbf j-z_2 \mathbf k), (y_2 \mathbf j -x_2 \mathbf k))$.

Поворот вектора

Рассмотрим прямую с ортом

$\mathbf r_o =\mathbf i \cos \alpha + \mathbf j \cos \beta + \mathbf k \cos \gamma$,

проходящую через начало координат. Пусть вокруг этой прямой по окружности некоторого радиуса вращается точка, причем ее радиус-вектор переходит из положения $\mathbf A$ в положение $\mathbf Z$. Если, кроме того, вращение производитсмя против часовой стрелки (при наблюдении с конца вектора $\mathbf r_o$) и угол поворота $0 \le \varphi \le \pi$, то

$\mathbf Z = \mathbf A \cos \varphi +(\mathbf r_o \times \mathbf A ) \sin \varphi -\mathbf r_o (\mathbf r_o \mathbf A)(1- \cos \varphi )$.

Эта формула преобразуется к виду $\mathbf Z=\mathbf A \circledast (\mathbf B, \mathbf C, \mathbf D)$, где кординаты векторов $(\mathbf B, \mathbf C, \mathbf D)$ выражаются через (α,β,γ,φ)^[1]. .

Центроафинное преобразование

В трехмерном пространстве центроафинное преобразование, при котором точка с вектором $\mathbf A$ переходит в точку с вектором $\mathbf Z$, описывается формулой

$\mathbf Z=(\mathbf B \mathbf A) \mathbf i + (\mathbf C \mathbf A) \mathbf j +(\mathbf D \mathbf A) \mathbf k$,

где указанные выше координаты векторов $\mathbf B, \mathbf C, \mathbf D$ являются параметрами этого преобразования. Рассматривая формулу скалярного умножения, находим, что центроафинное преобразовние эквивалентно покомпонентному умножению

$\mathbf Z=\mathbf A \circledast (\mathbf B^\prime , \mathbf C^\prime , \mathbf D^\prime )$,

где

$\mathbf B^\prime =x_2 \mathbf i - y_2 \mathbf j- z_2 \mathbf k, \ \mathbf C^\prime =x_3 \mathbf i - y_3 \mathbf j- z_3 \mathbf k, \ \mathbf D^\prime =x_4 \mathbf i - y_4 \mathbf j-z_4 \mathbf k$.

Позиционные коды векторов

Метод позиционного кодирования основан на представлении кодируемого объекта в виде суммы

$\mathbf A=\sum_{k} \alpha_k \rho^{k}$,

где k - целое число, $\ \alpha_k$ - число, принимающее значения из определенного множества, $\ \rho$ - основание системы кодирования. В частности, существует система кодирования комплексных чисел по основанию $\rho=j \sqrt{R}$, где j – мнимая единица, $\alpha_k \in B_R$ и $B_R = \{ 0, 1, 2,\dots, R-1 \}$, а R - целое положительное число (например, R=2) ^[4].
По аналогии с этим в ^[1] предложена позиционная система кодирования векторов по основанию $\mathbf \rho= \mathbf j \sqrt [n] {R}$, где $\mathbf j$ – второй орт в таблице специального умножения векторов, n - размерность векторов, $\alpha_k \in B_R$. В частности, существует двоичная система кодирования векторов, в которой R=2 и $\ B_R = { 0, 1}$. Необходимое для этого возведение орта $\mathbf j$ в целую (положительную или отрицательную) степень рассмотрено выше.

Позиционный код вектора

$\mathbf A=x \mathbf i + y \mathbf j+ z \mathbf k$

представляет собой запись цифр α, имеющую вид

$\mathbf A = \alpha_{0} \alpha_{1} \dots \alpha_k \dots \alpha_{n}$.

Этот же вектор можно рассматривать как сумму

$\mathbf A=X \mathbf \rho^0 +Y \mathbf \rho^1 + Z \mathbf \rho^2$,

где

$X=x \sqrt [3] {R^{0}}; Y=y \sqrt [3] {R^{-1}}; Z=z \sqrt [3] {R^{-2}}$,

При этом код вектора можно рассматривать как композицию трех кодов следующего вида

$\begin{pmatrix} \mathbf A= & \alpha_{0} & \alpha_{1} & \alpha_{2} & \alpha_{3} & \alpha_{4} & \alpha_{5} & \alpha_{5} & \cdots \\ X = & \beta_{0} & \ & \ & \beta_{1} & \ & \ & \beta_{2} & \cdots \\ Y= & \ & \gamma_{0} & \ & \ & \gamma_{1} & \ & \ & \cdots \\ Z = & \ & \ & \delta_{0} & \ & \ & \delta_{1} & \ & \cdots \\ \end{pmatrix}$,

где

$\ \beta_{k}=\alpha_{3k}; \ \gamma_{k}=\alpha_{3k+1}; \ \delta_{k}=\alpha_{3k+2}$.

Здесь коды чисел X, Y, Z являются двоичными кодами чисел по основанию (-2).

Алгебраическое сложение

Алгебраическое сложение кодов векторов состоит из трех сложений пар компонент X, Y, Z этих векторов. Эти сложения могут выполнятся параллельно.

Умножение

Специальное умножение кодов векторов состоит, как обычно для позиционных кодов, из циклов "сдиг, как умножение множимого на разряд множителя" - "сложение с частичной суммой". Покомпонентное умножение также состоит из таких циклов, но в каждом цикле значение множимого зависит от номера разряда множителя. Точнее, при покомпонентном умножении

$\mathbf Z=\mathbf A \circledast (\mathbf B, \mathbf C, \mathbf D)$

вектор $\mathbf A$ с кодом

$\mathbf A = \alpha_{0} \alpha_{1} \dots \alpha_k \dots \alpha_{n}$.

рассматривается как множитель, а множимое М определяется в зависимости от номера разряда $\ \alpha_{3k+t}$ по следующему правилу:

$\mathbf M = \mathbf B, \ if \ t=0; \mathbf M = \mathbf C, \ if \ t=1; \mathbf M = \mathbf D, \ if \ t=2$.

Примечания

1. ↑ ^{1 2 3} Хмельник С. И. Алгебра многомерных векторов и кодирование пространственных фигур // Автоматика и вычислительная техника, АН ЛССР. — 1971. — Т. 1.
2. ↑ ^{1 2 3} Курош А.Г. Курс высшей алгебры — "Наука". — Mосква, 1965.
3. ↑ Хмельник С. И. Кодирование комплексных чисел и векторов — Mathematics in Computers. — Израиль, 2004. — ISBN 978-0-557-74692-7.
4. ↑ Knuth D. E. (1960). «An Imaginary Number System». Communication of the ACM 3 (4): 245—247. DOI:10.1145/367177.367233.

Связать^?