- ФУРЬЕ ИНТЕГРАЛЬНЫЙ ОПЕРАТОР
интегральный оператор, обобщенное ядро к-рого является быстроосциллирующей функцией или интегралом от такой функции. Операторы такого типа возникли при исследовании асимптотики быстроосциллирующих решений уравнений с частными производными (см. [1], [2]) и при исследовании особенностей фундаментальных решений гиперболич. уравнений (см. [1], [2], [3]).
I. Канонический оператор Маслова (КОМ). Пустьесть n-мерное лагранжево многообразие класса
в фазовом пространстве
где х
и
-объем на А. Каноническим атласом наз. локально конечное счетное покрытие многообразия
ограниченными односвязными областями
(картами), в каждой из к-рых в качестве координат можно взять либо переменные х, либо р, либо смешанный набор
не содержащий сопряженных пар (pj, х j). КОМ действует изв
Канонич. операторы вводятся следующим образом.
1) Пусть карта
-неособая, т. е.
задается уравнением р = р (х)и
Здесь-параметр,
-фиксированная точка,
и функция
2) Пусть в карте
локальные координаты суть р, т. е.
задается уравнением х = х (р)и пусть
Здесь F-1 есть
-преобразование Фурье
Аналогично определяется
в случае, когда координаты в
-набор
Пусть
и индекс Маслова
для любого замкнутого пути l, лежащего на
Вводится разбиение единицы класса
на
при
и фиксируется точкаКОМ определяется формулой
и
-индекс Маслова цепочки карт, соединяющих карты
и
Точканаз. неособой, если в ее окрестности
задается уравнением р=р (х). Пусть пересечение карт
непусто и связно,
-неособая точка и
-координаты в этих картах. Индексом Маслова пары карт
наз. число
где-число отрицательных собственных значений матрицы А. Индекс Маслова цепочки карт определяется по аддитивности. Аналогично определяется индекс Маслова ind l пути l. Индекс Маслова ind (mod 4) пути на лагранжевом многообразии есть целочисленный гомотопич. инвариант (см. [1], [3]). КОМ инвариантен относительно выбора канонич. атласа локальных координат в картах и разбиения единицы, в следующем смысле: если
-два КОМ, то в
для любой функции
Важнейший результат теории КОМ - формула коммутации КОМ и-дифференциального (или
-псевдодифференциального [3]) оператора.
Пусть- дифференциальный оператор с действительным символом L( х, р )класса
и выполнены условия: L( х, р)=0 на
Многообразие
и объем
инвариантны относительно гамильтоновой системы
Тогда справедлива формула коммутации (здесь
где
-производная в силу гамильтоновой системы. Следующие члены разложения (1) и оценки остаточных членов см. [3]. Уравнение
наз. уравнением переноса. Из формулы коммутации следует, что если
то функция
есть формальное асимптотич. решение уравнения
Метод КОМ позволил решить следующие задачи.
1) Построение асимптотики решения задачи Коши с быстроосциллирующими начальными данными в большом (т. е. за любое конечное время) для строго гиперболич. систем дифференциальных уравнений с частными производными, для систем Дирака, Максвелла, теории упругости, для уравнения Шрёдингера (см. [1], [9] - [6], а также Квазиклассические приближение), а также решения нек-рых смешанных задач [4].
2) Построение асимптотики серий собственных значений самосопряженных дифференциальных операторов, ассоциированных с инвариантными относительно соответствующей гамильтоновой системы лагранжевыми многообразиями (см. [1], [3]).
3) Построение асимптотич. разложения по гладкости фундаментального решения строго гиперболич. системы уравнений с частными производными (см. [1], [5], [6]).
4) Построение коротковолновой асимптотики функции Грина, решения задачи о рассеянии и амплитуды рассеяния для уравнения Шрёдингера асимптотики спектральной функции (см. [5] - [7]).
Развит новый вариант КОМ на лагранжевых многообразиях с комплексным ростком (см. [8], [9]).II. Интегральный оператор Фурье (ИОФ).
Пусть X, Y - ограниченные области вN=N1 + N2,
и
ИОФ наз. оператор
Здесь
(фазовая функция) - действительная и положительно однородная по
порядка 1,
и
при
Функция
(символ) и в простейшем случае разлагается при
в асимптотич. ряд
Интеграл (2) сходится после соответствующей регуляризации и определяет непрерывный линейный оператор
Ядро оператора Аравно
Функция
и бесконечно дифференцируема вне проекции
на
множества
Особенности Кзависят только от тейлоровского разложения символа рвокрестности С(при фиксированной фазе
Пусть фаза
невырождена, т. е. дифференциалы
линейно независимы на С';тогда С - гладкое многообразие размерности п. Оператору Аотвечает гладкое, коническое (по переменному
двойственному к z =(x, у ))лагранжево многообразие
размерности n-образ Спри отображении
В дальнейшем оператор Арассматривается на плотностях и(у)порядка 1/2:
т. е.
при замене переменных
Символу рставится в соответствие плотность
порядка 1/2 на
к-рая является образом
при отображении (3), где
и
- координаты на
первого порядка однородности по
перенесенные с помощью (3) на С. Плотность bпри
разлагается в асимптотич. ряд
коэффициент b0 наз. главным символом оператора А. Пусть оператор Апредставим в виде (2), но с другой невырожденной фазовой функциейи с другим символом
Тогда для этого представления многообразие
остается прежним, величина
постоянна, а главный символ
равен
Общее определение ИОФ таково. Пусть X, Y- гладкие многообразия размерности N1, N2 и-конич. гладкое лагранжево многообразие размерности п = N1+N2. Для любой точки
существует невырожденная фазовая функция такая, что построенное по ней лагранжево многообразие локально совпадает с
Пусть
- множество объектов, состоящих из:
а) локальных координатных окрестностейс локальными координатами
z =(x, у);
б) целого числа N и невырожденной фазовой функцииопределенной в
и такой, что отображение
есть диффеоморфизм на открытое подмножество
ИОФ наз. операторгде А j имеет вид (2), N = Nj,
и носитель символа р= pj содержится в множестве
К j - компакт в
Класс таких операторов Aобозначают I т(L).
Пусть-множество однородных порядка
по
плотностей на
порядка 1/2. По главным символам
операторов AJ естественным образом строится главный символ
оператора А, так что отображение
есть изоморфизм (см. [2], [14]).
Наиболее важным для приложений ИОФ к дифференциальным уравнениям с частными производными является случай, когда проекции- локальные диффеоморфизмы. Тогда N1=N2. и плотность d С -равна
и ограничен оператор
Так же, как и для КОМ, для ИОФ есть формулы коммутации с дифференциальными операторами со всеми вытекающими из них следствиями. Локально ИОФ можно представить в виде интеграла по параметру от КОМ (см. [10]). ИОФ применяется:
1) Для построения параметрикса и изучения микролокальной структуры особенностей (волновых фронтов) решений, гиперболич. уравнений, уравнений главного типа и краевых задач (см. [2], [14]).
2) При исследовании вопроса о локальной и глобальной разрешимости и субэллиптичности уравнений (см. [12]).
3) Для получения асимптотики спектральной функции псевдодифференциальных операторов (см. [13]).Лит.:[1] Маслов В. II., Теория возмущений и асимптотические методы, М., 1965; [2] Xёрмандер Л., лМатематика
Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия. И. М. Виноградов. 1977—1985.