Оператор Гильберта

Оператор Гильберта — Шмидта — это ограниченный оператор $A$ на гильбертовом пространстве $H$ с конечной нормой Гильберта — Шмидта, т. е. для которого существует такой ортонормированный базис $\{e_i\colon i \in I\}$ в $H$, что

$\sum_{i\in I} \|Ae_i\|^2 < \infty.$

Если это верно в каком-то ортономированном базисе, то это верно в любом ортонормированном базисе.

Скалярное произведение Гильберта — Шмидта

Пусть $A$ и $B$ — два оператора Гильберта — Шмидта. Скалярное произведение Гильберта — Шмидта определяется как

$\langle A,B \rangle_\mathrm{HS} = \operatorname{tr}\,A^T\!B = \sum_{i \in I} \langle Ae_i, Be_i \rangle.$

где $\operatorname{tr}$ обозначает след оператора. Индуцированная таким скалярным произведением норма называется нормой Гильберта — Шмидта:

$\lVert A \rVert_\mathrm{HS}^2 = \sum_{i \in I} \lVert Ae_i \rVert^2.$

Это определение не зависит от выбора ортонормированного базиса и аналогично норме Фробениуса для операторов в конечномерном векторном пространстве.

Свойства

Операторы Гильберта — Шмидта образуют двусторонний *-идеал в банаховой алгебре ограниченных операторов на $H$. Операторы Гильберта — Шмидта образуют замкнутое в топологии, индуцированной нормой на $H$, множество тогда и только тогда, когда $H$ конечномерно. Они также образуют гильбертово пространство. Можно показать, что оно естественно изоморфно тензорному произведению гильбертовых пространств

$H^* \otimes H,$

где $H^*$ — пространство, сопряжённое к $H$.