Теорема Гильберта

Теоре́ма Ги́льберта-Шми́дта распространяет на вполне непрерывные симметричные операторы в гильбертовом пространстве известный факт о приведении матрицы самосопряженного оператора в конечномерном евклидовом пространстве к диагональной форме в некотором ортонормированном базисе.

Формулировка теоремы

Для любого вполне непрерывного симметричного оператора $A$ в гильбертовом пространстве $H$ существует ортонормированная система $\{x_i\}$ собственных элементов, соответствующих собственным значениям $\{\lambda_n\}$ оператора $A$, такая, что для любого $x\in H$ имеет место представление

$x=\sum_k\xi_k x_k+x_0,\ x_0\in\operatorname{Ker}\,A,\ Ax=\sum_k\lambda_k \xi_k x_k,$

причем суммирование может быть как конечным, так и бесконечным рядом в зависимости от числа собственных элементов оператора $A$. Если их бесконечное число, то $\lim_{n\rightarrow\infty}\lambda_n=0$.

Теорема Гильберта-Шмидта для интегральных операторов

Теорема Гильберта-Шмидта может быть использована для решения неоднородного интегрального уравнения с непрерывным (а также слабо полярным) эрмитовым ядром.

Для интегрального оператора $(Kg)(x)=\int\limits_G\!K(x,y)g(y)\,dy$, теорема переформулируется так: если функция $f(x)$ истокообразно представима через эрмитово непрерывное ядро $K(x,y)$ (т.е. $\exists g(x)\in L^2(G)$, такая, что $f(x)=(Kg)(x)$), то ее ряд Фурье по собственным функциям ядра $K(x,y)$ сходится регулярно на $G$ к этой функции:

$f(x)=\sum_{k=1}^\infty(f,\varphi_k)\varphi_k(x)=\sum_{k=1}^\infty\frac{(g,\varphi_k)}{\lambda_k} \varphi_k(x),$

где $\varphi_k$ и есть собственные функции ядра, соответствующие собственным значениям $\lambda_k$.

См. также

Оператор Гильберта — Шмидта

Литература

В.С. Владимиров, В.В. Жаринов. Уравнения математической физики. — М.: Физматлит, 2004. — ISBN 5-9221-0310-5