- Нормальная форма Пуанкаре
-
В теории динамических систем, нормальная форма Пуанкаре — Дюлака (англ.) — формальная нормальная форма векторного поля в окрестности своей особой точки.
Содержание
Формулировка
Резонансы
По определению, резонансом для набора
называется равенство
((*)) где
.
Резонансным мономом векторного поля, линейная часть которого приведена к жордановой нормальной форме с собственными значениями
, называется моном
({{{2}}}) где
и для
и
выполнено (*).
Теорема Пуанкаре — Дюлака
Теорема.Формальное векторное поле с особой точкой в начале координат формально эквивалентно формальному векторному полю, линейная часть которого приведена к жордановой нормальной форме, и все ненулевые мономы резонансны.Указанный в теореме вид называется резонансной формальной нормальной формой Пуанкаре — Дюлака.
Связанные понятия
Области Пуанкаре и Зигеля
Говорят, что вектор
принадлежит области Пуанкаре, если ноль не лежит в выпуклой оболочке точек
. В противном случае говорят, что он принадлежит области Зигеля. Наконец, в случае, если ноль принадлежит выпуклой оболочке вместе с некоторой своей окрестностью, говорят, что вектор
принадлежит строгой области Зигеля.
В случае вектора собственных значений, принадлежащего области Пуанкаре, резонансная нормальная форма Пуанкаре — Дюлака на самом деле полиномиальна. В случае таких собственных значений, можно утверждать, что векторное поле аналитически эквивалентно своей резонансной формальной нормальной форме.
Теорема Левелля
Теорема Левелля, описывающая резонансную нормальную форму фуксовой особой точки
({{{2}}}) может рассматриваться как линейный по
вариант нормальной формы Пуанкаре — Дюлака для расширенной системы
({{{2}}}) Литература
- Арнольд В. И., Ильяшенко Ю. С. Обыкновенные дифференциальные уравнения. Динамические системы — 1 // Итоги науки и техн. — Сер. «Соврем. пробл. мат. Фундам. направления». — №1. — М.: ВИНИТИ, 1985. — с. 7—140.
- Ilyashenko Yu., Yakovenko S. Lectures on Analytic Differential Equations.
Для улучшения этой статьи желательно?: - Викифицировать статью.
- Проставив сноски, внести более точные указания на источники.
- Найти и оформить в виде сносок ссылки на авторитетные источники, подтверждающие написанное.
Категория:- Динамические системы
Wikimedia Foundation. 2010.