Косвенная функция полезности

В теории потребителя, косвенная функция полезности отражает максимальную полезность потребителя в зависимости от цен $p$ и от дохода $w$.

Функция называется косвенной, потому что обычно потребители рассматривают оценивают наборы в зависимости от количества потребленных товаров, а не от их цен. Косвенная функция полезности $v(p,\ w)$ может быть вычислена из функции полезности $u(x)$ через решение задачи максимизации полезности, откуда будет найден наиболее предпочитаемый набор $x(p,\ w)$ (маршалловский спрос), тогда косвенная функция полезности будет равна $v(p,\ w) = u(x(p,\ w))$

Свойства косвенной функции полезности

• Не возрастает по ценам, т. к. увеличение цен не может сделать доступным тот набор, который соответствует большей полезности;
• не убывает по доходу, т. к. при возрастании дохода, как минимум, возможно потреблять прежний набор;
• однородна нулевой степени по ценам и доходу; если цены и доход возрастут пропорционально на одну и ту же величину (идеальная инфляция), функция не изменится;
• квазивыпукла относительно цен и дохода (p,w);
• непрерывна во внутренних точках (в силу теоремы о максимуме);
• если функция v(•) дифференцируема в точке $(\overline{p}, \overline{w})$, маршалловский спрос может быть вычислен через тождество Роя: $x_i(\overline{p}, \overline{w}) = - \frac{\partial v(\overline{p},\ \overline{w})/\partial p_i}{\partial v(\overline{p},\ \overline{w})/\partial w}$.

Литература

• Фридман А. А. Лекции по курсу микроэкономики продвинутого уровня. — М.: Издательский дом ГУ ВШЭ, 2007. — С. 71. — ISBN 978-5-7598-0335-5.