Квантовый газ

Квантовый газ — газ, состоящий из (квази)частиц, де-бройлевская длина волны которых намного превышает их радиус взаимодействия.

Свойства квантового газа зависят от степени его вырождения, характеризующегося температурой вырождения. Температура вырождения $T_0$ зависит от плотности газа, $T_0 \sim \frac{N^{(2/3)}}{mk}$, $N$ — концентрация частиц, $m$ — масса частицы, $k$ — постоянная Больцмана. При условии $T \gg T_0$ газ является невырожденным и распределение частиц по энергиям описывается распределением Больцмана. В случае $T \ll T_0$ газ попадает в область квантового вырождения и представляет собой, в зависимости от статистики частиц, вырожденный Ферми-газ (полуцелый спин, Статистика Ферми — Дирака) или Бозе-газ (целый спин, Статистика Бозе — Эйнштейна).

Модель квантового газа широко применяется для решения задач физики твердого тела (электронный газ в металлах), астрофизики (свойства белых карликов и нейтронных звезд), физики конденсированного состояния (сверхтекучесть).

Различают идеальный (пренебрежение взаимодействием частиц) и реальный квантовый газ.

Идеальный квантовый газ

Условием идеальности квантового газа является, фактически, условие разреженности $Na^3 \ll 1$, где $a$ — длина рассеяния частиц или, что то же, $kT \ll \frac{\hbar^2}{ma^2}$. При $T \gg T_0$, где $T_0$ — температура вырождения, свойства квантового газа во многом не зависят от статистики составляющих его частиц. В противоположном случае, свойства Бозе- и Ферми-газа принципиально различны.

Статсумма идеального Бозе-Ферми газа задается формулой

$\Sigma =\prod _{\alpha} \Sigma _{\alpha},$

где $\Sigma_{\alpha} =(1 \pm e^{-(\varepsilon _{\alpha }-\mu)/(kT)})^{\mp 1}$ — статсумма одноуровневой системы, суммирование происходит по всем уровням системы, верхние знаки соответствуют случаю Ферми-, нижние — Бозе-газа, $\varepsilon _{\alpha }$ — одночастичный гамильтониан, $\mu$ — химический потенциал газа. Соответствующий этой статсумме термодинамический потенциал (большой термодинамический потенциал Гиббса):

$\Omega =-AV\int \frac{d\varepsilon \quad \varepsilon ^{3/2}}{e^{(\varepsilon -\mu)/(kT)}\pm 1},\qquad A=\frac {2^{7/2}\pi m^{3/2}g}{3h^3}$,

где $V$ — объем системы, $h$ — постоянная Планка, $g=2s+1$ — вырождение по спину.

Среднее число частиц на уровне: $<N_{\alpha}>=\frac{1}{e^{(\varepsilon _{\alpha }-\mu)/(kT)}\pm 1}$.

Интегралы в термодинамическом потенциале сводятся к спецфункциям: функции Ферми-Дирака

$F_k(\eta )=\frac 1{\Gamma (k+1)}\int_0^{\infty }\frac {dx\quad x^k}{e^{x-\eta }+1}$

для случая Ферми-газа и обобщенной $\zeta$-функции Римана

$\zeta _k(a)=\sum _{n=1}^{\infty }\frac{a^n}{n^k}=\frac 1{\Gamma (k)}\int _0^{\infty }\frac {dx\quad x^{k-1}}{e^x/a-1}$

для случая Бозе-газа.

Если ввести функцию

${G}_{k} = \begin{cases} {F_{k}(\frac {\mu}{kT})}, \\ \zeta _{k+1}(e^{\mu/(kT)}), \end{cases}$

то термодинамический потенциал можно переписать в виде

$\Omega =-\overline AV(kT)^{5/2}{G}_{3/2}({\mu}/{(kT)}),\qquad \overline A=A\Gamma (5/2).$

Тогда уравнения состояния и основные термодинамические характеристики квантового идеального газа можно записать в общем для Ферми- и Бозе-газа виде. Так, уравнения состояния принимают вид:

$N=-\Biggr (\frac {\partial \Omega }{\partial \mu}\Biggl )_{T,V}= \overline AV(kT)^{3/2}{G}_{1/2}({\mu}/{(kT)}),$

$p=-\Biggr (\frac {\partial \Omega }{\partial V}\Biggl )_{T,\mu }=\overline A(kT)^{5/2}{G}_{3/2}({\mu}/{(kT)}),$

а выражение для энтропии:

$S(T,V,\mu )=-\Biggr (\frac {\partial \Omega}{\partial T}\Biggl )_{V,\mu } = \overline AVk^{5/2}\Bigg\{\frac 52T^{3/2}{G}_{3/2}({\mu}/{(kT)})-\frac {\mu }kT^{1/2}{G}_{1/2}({\mu}/{(kT)})\Bigg\}.$

Также, можно написать и выражения для теплоемкости:

$C_{V,N}= \overline AVk^{5/2}T^{3/2}\Bigg\{\frac{15}4{G}_{3/2}({\mu}/{(kT)})-\frac 94\frac {{G}^{2}_{1/2}({\mu}/{(kT)})}{{G}_{-1/2}({\mu}/{(kT)})}\Bigg\}.$

Низкотемпературное поведение Ферми-газа

При $T=0$ подинтегральное выражение в формуле для функции ${G}_{k}$ теряет непрерывность. Скачок функции происходит при энергии, равной $\mu(T)|_{T=0}$ — энергии Ферми. Когда температура близка, но отлична от нуля, подинтегральное выражение можно разложить в ряд (по параметру $kT$) и интеграл принимает вид:

$\int _{0}^{\infty}\frac {d\varepsilon \phi (\varepsilon )}{e^{(\varepsilon -\mu)/(kT)}+1}=\int _{0}^{\mu }d\varepsilon \phi (\varepsilon)+ (kT)^{2}\frac{\pi^2}{6}\phi '(\mu)+ O((kT)^{4}).$

Подставляя это выражение в уравнения состояния и выражения для термодинамических характеристик, получаем:

$N \approx AV\Bigg(\mu ^{3/2}+\frac 34\alpha \frac{(kT)^{2}}{\sqrt{\mu }}\Bigg),$

$p\approx \varepsilon_{F}^{5/2}\Bigg(\frac25+2\alpha \frac{(kT)^{2}}{\varepsilon_{F}^{2}}\Bigg),$

$S\approx 3\alpha \frac {AV}T\varepsilon_{F}^{1/2}(kT)^{2},$

$C_{V,N}\approx 3\alpha AV\varepsilon _{F}^{1/2}k^{2}T.$

Решая первое уравнение методом итераций находим выражение для химического потенциала и энергии Ферми:

$\mu=\varepsilon _{F}\Bigg[1-\frac 12\alpha \frac{(kT)^{2}}{\varepsilon_{F}^{2}}+O\Bigg(\frac{k^{4}T^{4}}{\varepsilon_{F}^{4}}\Bigg)\Bigg],\qquad \varepsilon _{F}=\Bigg(\frac nA\Bigg)^{2/3}.$

Таким образом, при близкой к нулю температуре, идеальный Ферми-газ находится в основном состоянии, его частицы занимают все уровни энергии вплоть до $\varepsilon _{F}$, а все уровни выше $\varepsilon _{F}$ свободны.

Необходимо отметить, что приближение идеального газа не описывает множество важных эффектов, таких как явление сверхпроводимости, сверхтекучести и т. д.

Низкотемпературное поведение Бозе-газа

При понижении температуры или увеличении плотности Бозе-газа параметр $a=e^{\mu/(kT)} \rightarrow 1$, следовательно химический потенциал $\mu \rightarrow 0$ и обратится в нуль при конечных значениях $n_0, T_0$, связанных соотношением $n_{0}(kT_{0})^{-3/2}/\overline A=\zeta _{3/2}(1)\approx 2.6$. При этом заселенность нулевого уровня формально равно бесконечности, поэтому точка $(n_0, T_0)$ называется точкой Бозе-конденсации. Явление Бозе-конденсации невозможно описать в рамках приближения идеального Бозе-газа, поэтому ограничимся описанием поведения Бозе-газа в окрестности точки Бозе-конденсации.

Асимптотикой функции $\zeta_{3/2}(e^{\mu/(kT)})=\frac 1{\Gamma(3/2)}\int _{0}^{\infty }\frac {dx x^{1/2}}{e^{x-\mu/(kT)}-1}$ при $\mu\to0, T\to T_0$ является

$\zeta _{3/2}(e^{\mu /(kT)})\approx \frac {n_{0}}{\overline A(kT_{0})^{3/2}}+\frac {\pi}{\Gamma(3/2)}\sqrt {\frac{|\mu |}{kT}}+O(\frac {\mu }{kT}),$

откуда при $T=T_0$ следует выражение для химического потенциала: $\mu \approx \frac {\Gamma ^{2}(3/2)}{\pi^{2}\overline A^2(kT_{0})^{2}}\Bigg(\delta n-3n_{0}\frac{\delta T}{2T_{0}}\Bigg)^{2},$ где $\delta n, \quad \delta T$ — отклонения от точки Бозе-конденсации.

Для расчета энтропии и теплоемкости также понадобятся асимптотики функций $\zeta_{1/2}(e^{\mu/(kT)})$ и $\zeta_{5/2}(e^{\mu/(kT)})$, которые могут быть получены аналогично предыдущей и имеют вид:

$\zeta _{5/2}(e^{\mu /(kT)})\approx \mbox{const} + O(\frac{\mu }{kT}),\quad \zeta _{1/2}(e^{\mu /(kT)})\approx \mbox{const} \sqrt {\frac {kT}{|\mu |}} +O(1)$

См. также

• Уровень Ферми
• Конденсат Бозе — Эйнштейна
• Сверхпроводимость
• Сверхтекучесть

Литература

• Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М. Статистическая физика.
• Куни Ф. М. Статистическая физика.
• Налимов М. Ю., Новожилова Т. Ю. Квантовые газы.