Подкольцо

Подкольцо кольца $K$ — это пара $(R,i)$, где $R$ — кольцо, а $i: R\hookrightarrow K$ — мономорфизм (вложение) колец. Такое определение согласуется с общим понятием подобъекта в теории категорий.

В классическом определении подкольцо кольца $(K,+,*)$ рассматривается как подмножество $R\subset K$, замкнутое относительно операций $+$ и $*$ из основного кольца. Это определение равносильно данному выше, однако в современном определении подчёркивается внутренняя структура подколец и связь между различными кольцами. Оно также легко обобщается на случай произвольных математических объектов (алгебраических, геометрических и т. п.). Разница между определениями аналогична разнице между теоретико-множественным и теоретико-категорным взглядом на математику.

В частности, различные определения кольца дают два основных содержательных понятия подкольца. В категории (всех) колец $\mathcal{R}ing$ подкольцо, как в классическом определении, можно рассматривать как произвольное подмножество кольца, замкнутое по сложению и умножению. Более интересная ситуация в категории колец с единицей $\mathcal{R}ing_1$: морфизмы (гомоморфизмы) $f: R \to K$ в этой категории должны отображать единицу кольца $R$ в единицу кольца $K$ (аналогично гомоморфизму полугрупп с единицей), поэтому подкольцо $R$ кольца $K$ также обязано содержать единицу: $1_K \in R$.

Категория $\mathcal{R}ing$ устроена гораздо лучше, чем $\mathcal{R}ing_1$. Например, ядро любого гомоморфизма также является объектом этой категории. Из-за этого говоря о подкольце обычно подразумевают подкольцо в $\mathcal{R}ing$, если не оговорено обратное.

Примеры

1. Любой идеал (левый, правый, двусторонний) замкнут относительно сложения и умножения, поэтому является подкольцом в $\mathcal{R}ing$.
2. В $\mathcal{R}ing_1$ идеал является подкольцом только тогда, когда содержит $1$, поэтому он обязан совпадать со всем кольцом. Поэтому в $\mathcal{R}ing_1$ собственные идеалы не являются подкольцами.
3. В $\mathcal{R}ing$ подкольцами в $\Z$ являются всевозможные главные идеалы $(n)=n\Z$. В $\mathcal{R}ing_1$ $\Z$ не имеет собственных подколец.
4. Кольцо целых чисел $\Z$ является подкольцом поля вещественных чисел $\R$ и подкольцом кольца многочленов $\Z[X]$.

Литература

• Винберг Э. Б. Курс алгебры. — 3-е изд. — М.: Факториал Пресс, 2002. — 544 с. — 3000 экз. — ISBN 5-88688-060-7
• М. Атья, И. Макдональд. Введение в коммутативную алгебру. — М.: Мир, 1972. — 160 с.

См. также

• Подгруппа