Трёхгранный угол

Трехгранный угол.

Трёхгранный угол — это часть пространства, ограниченная тремя плоскими углами с общей вершиной и попарно общими сторонами, не лежащими в одной плоскости. Общая вершина О этих углов называется вершиной трёхгранного угла. Стороны углов называются рёбрами, плоские углы при вершине трёхгранного угла называются его гранями. Каждая из трёх пар граней трёхгранного угла образует двугранный угол (ограниченных третьей гранью, не входящей в пару; при потребности естественным образом снимается это ограничение, в результате чего получаются необходимые полуплоскости, образующие весь двугранный угол без ограничения). Если поместить вершину трёхгранного угла в центр сферы, на её поверхности образуется ограниченный им сферический треугольник, стороны которого равны плоским углам трехгранного угла, а углы — его двугранным углам.

Неравенство треугольника для трёхгранного угла

Каждый плоский угол трёхгранного угла меньше суммы двух других его плоских углов.

Сумма плоских углов трёхгранного угла

Сумма плоских углов трёхгранного угла меньше 360 градусов.

Доказательство  

Пусть OABC – данный трехгранный угол. Рассмотрим трехгранный угол с вершиной A, образованный гранями ABO, ACO и углом BAC. Напишем неравенство:

$\angle BAC < \angle BAO + \angle CAO$

Аналогично, и для оставшихся трехгранных углов с вершинами B и С:

$\angle ABC < \angle ABO + \angle CBO$

$\angle ACB < \angle ACO + \angle BCO$

Складывая эти неравенства и учитывая, что сумма углов треугольника ABC равна 180°, получаем

$180 < \angle BAO + \angle CAO + \angle ABO + \angle CBO + \angle BCO + \angle ACO = 180 - \angle AOB + 180 - \angle BOC + 180 - \angle AOC$

Следовательно : $\angle AOB + \angle BOC + \angle AOC < 360$

Теорема косинусов для трёхгранного угла

Первая теорема косинусов для трехгранного угла $\cos {\alpha} = \cos {\beta} \cos {\gamma} + \sin {\beta} \sin {\gamma} \cos {A}$

Вторая теорема косинусов для трехгранного угла $\cos {A} = - \cos {B} \cos {C} + \sin {B} \sin {C} \cos {\alpha} ,$
где α, β, γ — плоские углы, A, B, C — двугранные углы, составленные плоскостями углов β и γ, α и γ, α и β.

Доказательство Второй теоремы косинусов для трехгранного угла  

Пусть OABC – данный трехгранный угол. Опустим перпендикуляры из внутренней точки трехгранного угла на его грани и получим новый трехгранный угол полярный (двойственный данному). Плоские углы одного трехгранного угла дополняют двугранные углы другого и двугранные углы одного угла дополняют плоские другого до 180 градусов. Т.е. плоские углы полярного угла соответственно равны: 180 - А ; 180 - В ; 180 - С, а двугранные - 180 - α; 180 - β ; 180 - γ

Напишем первую теорему косинусов для него

$\cos ({\pi -A}) = \cos ({\pi - \alpha}) \sin ({\pi - B}) \sin ({\pi - C}) + \cos ({\pi - B}) \cos ({\pi - C)}$

и после упрощений получаем:

$\cos {A} = \cos {\alpha} \sin {B} \sin {C} - \cos {B} \cos {C}$

Теорема синусов для трёхгранного угла

${\sin{\alpha} \over \sin A} = {\sin \beta \over \sin B} = { \sin \gamma \over \sin C}$, где α, β, γ — плоские углы трёхгранного угла; A, B, C — противолежащие им двугранные углы.

См. также

• Телесный угол

Для улучшения этой статьи желательно?: Викифицировать статью. Найти и оформить в виде сносок ссылки на авторитетные источники, подтверждающие написанное. Добавить иллюстрации.