- Теорема Дирихле о единицах
-
Теорема Дирихле о единицах — теорема алгебраической теории чисел, описывающая ранг подгруппы обратимых элементов (единиц) кольца алгебраических целых
числового поля
.
Формулировка
Пусть
— числовое поле (т. е., конечное расширение
), а
— его кольцо целых чисел. Тогда ранг группы обратимых элементов
равен
, где
— число различных вложений
в поле вещественных чисел
, а
— число пар комплексно-сопряжённых различных вложений в
, не являющихся чисто вещественными.
Следствия и обобщение
В частности, поскольку для расширения степени n выполнено
, то
, причём равенство имеет место тогда и только тогда, когда все вложения
в
чисто вещественные.
Существование нетривиальных целых решений уравнения Пелля
выводится из этой теоремы, применённой к
— квадратичному расширению
.
Случай группы единиц максимального ранга связан[1] с многомерными цепными дробями.
Литература
- ↑ В. И. Арнольд Цепные дроби. — М.: МЦНМО, 2001. — С. 35. — ISBN 5-94057-014-3
- Айерлэнд К., Роузен М. Классическое введение в современную теорию чисел. — М.: Мир, 1987. — С. 237.
Категории:- Алгебра
- Теория чисел
Wikimedia Foundation. 2010.