Пространство дифференцируемых функций

Пространством дифференцируемых функций (пространством гладких функций, пространством непрерывно дифференцируемых функций) в функциональном анализе называют пространство всех заданных на компактном множестве $\Omega\subset R^n$ гладких функций с порядком гладкости $k$, где k - натуральное число ($k\in\mathbb N$). Обозначения: $C^k$, $C^k(\Omega)$. Все функции из $C^k$ обладают непрерывными производными вплоть до $k$-го порядка включительно.

Пространством бесконечно-дифференцируемых функций (пространством бесконечно-гладких функций) называется множество всех определенных на компакте $\Omega\subset R^n$ функций, имеющих производные всех порядков. Обозначения: $C^\infty, C^\infty(\Omega)$

Для любого $k$ пространство $C^k(\Omega)$ содержит в себе пространство $C^{k+p}(\Omega), \forall p\in\mathbb N$, а также пространство $C^\infty(\Omega)$ в качестве своего подмножества: $C^1\supset C^2\supset ...\supset C^\infty$.

Свойства пространств $C^k(\Omega)$

• $\forall k, C(\Omega)\supset C^{k}(\Omega)$, где $C(\Omega)$ - пространство непрерывных функций.

• $\forall k, C^k(\Omega)$ - банахово пространство. Норма в этом пространстве: $\forall f\in C^k(\Omega): \|f\|_{C^k}=\sum\limits_{l=0}^{k} \max_{x\in\Omega} |f^{l}(x)|$, где $f^{0}(x)=f(x)$.

Также эту норму можно записать в виде $\|f\|_{C^k}=\sum\limits_{l=0}^{k}\|f^{(l)}\|_C$

Для улучшения этой статьи по математике желательно?: Проставить интервики в рамках проекта Интервики. Связать? Воспользоваться подсказкой и установить ссылки из других статей Википедии. Дополнить статью (статья слишком короткая либо содержит лишь словарное определение).