Среднее Колмогорова

Среднее Колмогорова или среднее по Колмогорову для действительных чисел $x_1,\ldots,x_n$ — это величины вида

$(*)\qquad M(x_1,\ldots,x_n) = \varphi^{-1} \left(\frac1{n} \sum_{k=1}^n \varphi (x_k)\right) =\varphi^{-1} \left( \frac{ \varphi (x_1)+ \ldots +\varphi (x_n) }{n}\right)$

где $\varphi$ — непрерывная строго монотонная функция, а $\varphi^{-1}$ — функция, обратная к $\varphi$. При этом выбор определённых функций $\varphi$ даёт различные классические средние:

• при $\varphi(x)=x$ — среднее арифметическое;
• при $\varphi(x) = \log x$ — среднее геометрическое;
• при $\varphi(x) = x^{-1}$ — среднее гармоническое;
• при $\varphi(x) = x^2$ — среднее квадратическое;
• при $\varphi(x) = x^\alpha, \ \alpha\ne 0$ — среднее степенное.

В 1930 году А. Н. Колмогоров показал,^[1] что любая средняя величина $M(x_1,\ldots,x_n)$ имеет вид $(*)$, если она обладает свойствами:

• непрерывности,
• монотонности по каждому $x_i$, $i=1,\ldots,n,$
• симметричности (среднее не меняется при перестановке аргументов),
• среднее от набора равных чисел равно их значению,
• замена любой группы чисел в наборе $x_1,\ldots,x_n$ их средним не меняет значение среднего всего набора.

Средние Колмогорова используют в прикладной статистике и эконометрике. В соответствии с теорией измерений, для усреднения данных, измеренных в шкале интервалов, из всех средних Колмогорова можно использовать только среднее арифметическое, а для усреднения данных, измеренных в шкале отношений, из всех средних Колмогорова можно использовать только степенные средние и среднее геометрическое.^[2][3]

Литература

1. ↑ Колмогоров А. Н. Математика и механика // Избранные труды / отв. ред. С. М. Никольский, сост. В. М. Тихомиров. — М.: Наука, 1985. — Т. 1. — С. 136-138.
2. ↑ Орлов А. И. Глава 2 // Эконометрика. — 3-е изд. — М.: Экзамен, 2004. — 596 с.
3. ↑ Орлов А. И. Раздел 5.3 // Прикладная статистика. — М.: Экзамен, 2006. — 671 с.

См. также

• Колмогоров, Андрей Николаевич
• Прикладная статистика
• Эконометрика