Соотношение Эйнштейна

В физике (главным образом в молекулярно кинетической теории) соотношением Эйнштейна (также называемое соотношением Эйнштейна — Смолуховского) называется выражение, связывающее подвижность молекулы (молекулярный параметр) с коэффициентом диффузии и температурой (макро параметры). Оно было независимо открыто Альбертом Эйнштейном в 1905 году и Марианом Смолуховским (1906) в ходе работ по изучению броуновского движения:

$D=\mu_pk_BT,$

где $D\,$ — коэффициент диффузии, $\mu_p\,$ — подвижность частиц, $k_B\,$ — постоянная Больцмана, а $T\,$ — абсолютная температура.

Величина подвижности $\mu_p\,$ определяется из соотношения

$\mu_p=V/F,\,$

где $V\,$ — стационарная скорость перемещения частицы в вязкой среде под действием силы $F\,$.

Это уравнение является частным следствием флуктуационно-диссипационной теоремы.

Формула Стокса — Эйнштейна

Величина подвижности не всегда легко определяется, поэтому если предположить, что числа Рейнольдса малы, то для силы сопротивления, испытываемой макроскопическим шариком (частицей), можно использовать формулу Стокса

$F=6\pi\eta rV,$

где $\eta\,$ — вязкость жидкости, $r\,$ — радиус частицы.

Таким образом, получается выражение:

$D=\frac{k_B T}{6\pi\eta r},$

называемое соотношением (формулой) Стокса — Эйнштейна.

Следует заметить, что использование макроскопического приближения для описания молекулярных характеристик движения даёт лишь оценочные результаты. В практических приложениях иногда используют коэффициент 4 вместо 6. Часто также предполагают, что характерная для микроскопических движений вязкость ниже, чем вязкость, измеренная в макроскопических экспериментах. Тем не менее формула Стокса — Эйнштейна даёт верные по порядку величины оценки коэффициента диффузии.

Для величины коэффициента вращательной диффузии выражение выглядит следующим образом:

$D_\mathrm{rot}=\frac{k_B T}{8\pi\eta r^3}.$

См. также

• Уравнение Ланжевена