Уравнение Клейна-Гордона-Фока


Уравнение Клейна-Гордона-Фока

Уравнение Клейна — Гордона (Уравнение Клейна — Гордона — Фока):


\partial^2_x \psi + \partial^2_y \psi + \partial^2_z \psi - {1\over c^2}\partial^2_t \psi - {m^2 c^2\over \hbar^2} \psi = 0.

или, кратко, используя вдобавок естественные единицы (где \hbar=c=1):


(\partial^2 - m^2) \psi = 0.

где \partial^2 — оператор Д’Аламбера.

— является релятивистской версией уравнения Шрёдингера. Используется для описания быстро движущихся частиц, имеющих массу (массу покоя). Строго применимо к описанию скалярных массивных полей (впрочем, пока с определенностью не известных в фундаментальной физике).

Кроме прочего, легко видеть, что уравнение Клейна — Гордона — Фока является обобщением волнового уравнения, подходящего для описания безмассовых скалярных и векторных полей.

Механические системы (реальные или воображаемые), описывающиеся уравнением Клейна — Гордона, могут быть простыми модификациями систем, описывающихся волновым уравнением, например:

  • в одномерном случае — натянутая тяжелая нить, лежащая (приклеенная) на упругой (гуковской) подкладке.
  • макроскопически изотропный кристалл, каждый атом которого находится, кроме связи с соседними атомами, еще и в фиксированной в пространстве квадратичной потенциальной яме.
  • более реалистично, если говорить о реальных кристаллах, рассмотреть моды поперечных колебаний, при которых, например, соседние слои атомов колеблются в противофазе: такие моды (в линейном приближении) будут подчиняться двумерному уравнению Клейна — Гордона в координатах, лежащих в плоскости слоев.

Уравнение, в котором последний («массовый») член имеет знак, противоположный обычному, описывает в теоретической физике тахион. Такой вариант уравнения также допускает простую механическую реализацию.

Уравнение Клейна — Гордона для свободной частицы (которое и приведено выше) имеет простое решение в виде синусоидальных плоских волн.

  • Замечание: положив пространственные производные нулю (что в квантовой механике соответствует нулевому импульсу частицы), мы имеем для обычного уравнения Клейна — Гордона гармонический осциллятор с частотой \pm mc^2\hbar, что соответствует ненулевой энергии покоя, определяемой массой m частицы. Тахионный же вариант уравнения в этом случае неустойчив, а решение его включает в общем случае неограниченно возрастающую экспоненту.

Содержание

История

Уравнение Клейна — Гордона первоначально записал Эрвин Шрёдингер до записи нерелятивистского уравнения, которое носит сейчас его имя. Он отказался от него, потому что не смог включить спин электрона в уравнение. Шрёдингер сделал упрощение уравнения Клейна — Гордона и нашёл «своё» уравнение.

В 1926 году, вскоре после публикации уравнения Шрёдингера, Фок написал статью о его обобщении на случай магнитных полей, где силы зависели от скорости и независимо вывел это уравнение. И Клейн, и Фок использовали метод Калуцы — Клейна. Фок также ввёл калибровочную теорию для волнового уравнения.

Вывод

  • (Здесь использованы естественные единицы где \hbar=c=1).

Уравнение Шрёдингера для свободной частицы записывается так:


\frac{\hat{\mathbf{p}}^2}{2m} \psi = i \partial_t \psi

где \hat{\mathbf{p}} = -i\mathbf{\nabla} — оператор импульса, оператор же  \hat{E} = i \partial_t  — будем называть, в отличие от гамильтониана, просто оператором энергии.

Уравнение Шрёдингера не является релятивистски ковариантным, то есть не согласуется со специальной теорией относительности (СТО).

Используем релятивистское соотношение, связывающее энергию и импульс (из СТО):

p2 + m2 = E2.

Тогда просто подставляя квантовомеханическиe оператор импульса и оператор энергии [1] — получаем:

((-i\mathbf{\nabla})^2 + m^2) \psi= i^2 \partial_t^2 \psi,

что в ковариантной форме запишется так:

(\partial^2 - m^2) \psi = 0.

где  \partial^2 = \nabla^2 - \partial_t^2  — оператор Д’Аламбера.

Решение уравнения Клейна — Гордона для свободной частицы

Искать решение уравнения Клейна — Гордона для свободной частицы

\mathbf{\nabla}^2\psi-\frac{1}{c^2}\frac{\partial^2}{\partial t^2}\psi
= \frac{m^2c^2}{\hbar^2}\psi

можно, как и для любого линейного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами, в виде суперпозиции (то есть любой, конечной или бесконечной линейной комбинации) плоских волн:

\psi(\mathbf{r},\; t) = e^{i(\mathbf{k}\cdot\mathbf{r}-\omega t)},

подставляя же каждую такую волну в уравнение, получаем условие на \mathbf k и ω:

-k^2+\frac{\omega^2}{c^2}=\frac{m^2c^2}{\hbar^2}.

Плоская волна, как легко заметить, описывает чистое состояние с определенной энергией и импульсом (то есть является собственной функцией соответствующих операторов). Энергия и импульс (то есть собственные значения этих операторов), исходя из этого, могут быть для нее просто посчитаны, как и в случае нерелятивистской частицы:


\langle\mathbf{p}\rangle=
\langle \psi |\hat{\mathbf{p}}|\psi\rangle =
\langle \psi |-i\hbar\mathbf{\nabla}|\psi\rangle = \hbar\mathbf{k}

\langle E\rangle=
\langle \psi |\hat{E}|\psi\rangle =
\langle \psi |i\hbar\frac{\partial}{\partial t}|\psi\rangle = \hbar\omega

Найденное соотношение k и ω тогда (снова) дает уравнение связи между энергией и импульсом релятивистской частицы с ненулевой массой, известное из классики:

\langle E^2 \rangle=m^2c^4+\langle \mathbf{p}^2 \rangle c^2.

Причем легко видеть, что соотношение для средних величин будет выполняться не только для состояний с определенной энергией и импульсом, но и для любой их суперпозиции, то есть для любого решения уравнения Клейна — Гордона (что, в частности, обеспечивает выполнение этого соотношения и в классическом пределе).

Для безмассовых частиц мы можем положить m = 0 в последнем уравнении. Тогда получим для безмассовых частиц закон дисперсии (он же соотношение энергии и импульса) в виде:

\langle E^2 \rangle=\langle \mathbf{p}^2 \rangle c.

Использовав формулу групповой скорости  \mathbf{v}_{gr} = \partial \omega / \partial \mathbf{k}\ , нетрудно получить обычные релятивистские формулы связи импульса и энергии со скоростью; в принципе, того же результата можно добиться и просто посчитав коммутатор гамильтониана с координатой, но в случае уравнения Клейна — Гордона мы сталкиваемся с трудностью выписать гамильтониан в явном виде [2] (очевиден только квадрат гамильтониана).

Примечания

  1. Можно было бы просто извлечь корень из оператора в скобках в левой части уравнения
    ((-i\mathbf{\nabla})^2 + m^2) \psi= i^2 \partial_t^2 \psi,
    то есть найти таким образом гамильтониан, тогда в правой части осталась бы первая производная по времени, и аналогия с уравнением Шрёдингера была бы еще более непосредственной и прямой. Однако утверждается, что для случая скалярного (или векторного) поля ψ невозможно проделать это так, чтобы получившийся гамильтониан был локальным. Для случая же биспинорного ψ Дираку удалось получить таким образом локальный (и даже с производными лишь первого порядка) гамильтониан, получив этим самым так называемое уравнение Дирака (все решения которого, кстати, являются и решениями уравнения Клейна — Гордона, но не обратно).
  2. см. примечание 1.

См. также

Внешние ссылки


Wikimedia Foundation. 2010.

Смотреть что такое "Уравнение Клейна-Гордона-Фока" в других словарях:

  • Уравнение Клейна — Гордона — Фока — Уравнение Клейна  Гордона (Уравнение Клейна  Гордона  Фока): или, кратко, используя вдобавок естественные единицы (где ): где   оператор Д’Аламбера. является релятивистской версией …   Википедия

  • уравнение клейна-гордона-фока — Релятивистское дифференциальное уравнение второго порядка для волновой функции частицы со спином 0 …   Политехнический терминологический толковый словарь

  • Уравнение Клейна — Гордона — Уравнение Клейна  Гордона (Уравнение Клейна  Гордона  Фока): или, кратко, используя вдобавок естественные единицы (где ): где …   Википедия

  • Уравнение Клейна-Гордона — Уравнение Клейна  Гордона (Уравнение Клейна  Гордона  Фока): или, кратко, используя вдобавок естественные единицы (где ): где   оператор Д’Аламбера. является релятивистской версией …   Википедия

  • КЛЕЙНА — ГОРДОНА — ФОКА УРАВНЕНИЕ — квантовое релятив. ур ние для ч ц с нулевым спином. Исторически К. Г. Ф. у. явл. первым релятив. ур нием квант. механики для волн. ф ции ч цы (y); оно было предложено в 1926 австр. физиком Э. Шредингером (как релятив. обобщение Шредингера… …   Физическая энциклопедия

  • Уравнение Клейна — Уравнение Клейна  Гордона (Уравнение Клейна  Гордона  Фока, уравнение Клейна Фока): или, кратко, используя вдобавок естественные единицы (где ): где   оператор Д’Аламбера. явля …   Википедия

  • КЛЕЙНА - ГОРДОНА УРАВНЕНИЕ — (Клейна Гордона Фока уравнение) простейшее релятивистски инвариантное ур ние, описывающее свободное скалярное (или псевдоскалярное) поле физическое. Впервые получено в 1926 Э. Шрёдингеро …   Физическая энциклопедия

  • Уравнение колебаний струны — Волновое уравнение в математике  линейное гиперболическое дифференциальное уравнение в частных производных, задающее малые поперечные колебания тонкой мембраны или струны, а также другие колебательные процессы в сплошных средах (акустика,… …   Википедия

  • Уравнение колебания струны — Волновое уравнение в математике  линейное гиперболическое дифференциальное уравнение в частных производных, задающее малые поперечные колебания тонкой мембраны или струны, а также другие колебательные процессы в сплошных средах (акустика,… …   Википедия

  • Волновое уравнение — в математике  линейное гиперболическое дифференциальное уравнение в частных производных, задающее малые поперечные колебания тонкой мембраны или струны, а также другие колебательные процессы в сплошных средах (акустика, преимущественно… …   Википедия


Поделиться ссылкой на выделенное

Прямая ссылка:
Нажмите правой клавишей мыши и выберите «Копировать ссылку»

We are using cookies for the best presentation of our site. Continuing to use this site, you agree with this.