НЕЙМАНА ТЕОРЕМА

эргодическая: для изометрич. оператора в гильбертовом пространстве Ни любого существует предел

(понимаемый в смысле сходимости по норме в H). Для непрерывной однопараметрич. группы унитарных преобразований в Ни любогосуществует предел

(понимаемый в том же смысле). При этом есть ортогональная проекция hна пространство инвариантных -относительно U(или ) элементов H.

Н. т. сформулирована и доказана Дж. Нейманом [1], имевшим в виду в первую очередь ее применения в эргодич. теории, когда в пространстве с мерой задан эндоморфизм Т(или измеримый поток), и есть оператор сдвига:

В этом случае Н. т. означает, что временные средние функции , т. е. средние значения или на отрезке времени 'или , при удлинении этого отрезка сходятся к в среднем квадратичном по х(что часто подчеркивается термином mean ergodic theorem). В частности, при достаточной длине интервала осреднения временное среднее функции h(х)для большинства хблизко к . Поэтому Н. т. (и ее обобщения) часто (в особенности применительно к данному случаю) наз. статистической эргод и ческой теоремой, в отличие от индивидуальной эргод и ческой теоремы, т. е. Виркгофа эргодической теоремы (и ее обобщений). Из последней (и - при - из используемых при ее доказательстве рассуждений) в данном случае можно вывести Н. т. Однако в общем случае, когда Нне реализовано как и оператор или не связан с какими-то преобразованиями в X, Н. т. не следует из теоремы Биркгофа.

Первоначальное доказательство Н. т. опиралось на спектральное разложение унитарных операторов. Позднее появился ряд других доказательств (простейшее из них принадлежит Ф. Риссу, F. Riesz, см. [2]) и обобщений для более широких классов групп и полугрупп операторов в банаховых пространствах {см. [3], [4]).

Н. т. и ее обобщения принадлежат к числу операторных эргодических теорем.

Лит.:[1] Neumann J., "Ргос. Nat. Acad. Sci. USA", 1932, v. 18, p. 70-82; [2] Xалмош П. Р., Лекции по эргодической теории, пер. с англ., М., 1959; [3] Вершик А. М., Юзвинский С. А., в кн.: Итоги науки. Математический анализ. 1967, М., 1969, с. 133-87; [4] Каток А. Б., Синай Я. Г., Степин А. М., в кн.: Итоги науки и техники. Математический анализ, т. 13, М., 1975, с. 129-262.

Д. В. Аносов.