Риманова кривизна


Риманова кривизна

В дифференциальной геометрии тензор кривизны Римана представляет собой стандартный способ выражения кривизны римановых многообразий, а в общем случае — произвольных многообразий аффинной связности, без кручения или с кручением. Назван в честь Бернхарда Римана.

Содержание

Определение

Тензор кривизны R(u,v) определяется как линейное преобразование касательного пространства в каждой точке многообразия, которое характеризует изменение вектора, параллельно перенесённого по бесконечно малому замкнутому параллелограмму, натянутому на векторы u,v. Тензор кривизны выражается через связность Леви-Чивита, или в общем случае аффинную связность \nabla (которая также называется ковариантной производной) следующим образом:

R(u,v)w=\nabla_u\nabla_v w - \nabla_v \nabla_u w - \nabla_{[u,v]} w,

где [u,v]скобка Ли.

Если векторные поля задаются дифференцированием по координатам, u=\partial/\partial x_i и v=\partial/\partial x_j, и поэтому коммутируют ([u,v] = 0), формула принимает упрощённый вид

R(u,v)w=\nabla_u\nabla_v w - \nabla_v \nabla_u w

таким образом, тензор кривизны измеряет некоммутативность ковариантных производных.

Примечание: Некоторые авторы определяют тензор кривизны с противоположным знаком

Связанные определения

  • Линейное преобразование w\mapsto R(u,v)w называется преобразованием кривизны.
  • Если u и v — два перпендикулярных единичных вектора в точке p, то выражение \langle R(u,v)v,\,u\rangle зависит только от плоскости σ в Tp которая натягивается на u и v.
    • Плоскость σ называется секционным направлением.
    • величина \langle R(u,v)v,\,u\rangle называется секционной кривизной в направлении σ, и обычно обозначается Kσ.

Компоненты тензора кривизны

В системе координат xμ компоненты тензора кривизны определяются так:

{R^\rho}_{\sigma\mu\nu} = dx^\rho(R(\partial_{\mu},\partial_{\nu})\partial_{\sigma})

где \partial_{\mu} = \partial/\partial x^{\mu} — векторное поле, в каждой точке касательное к координатной линии xμ. В терминах символов Кристоффеля :

{R^\rho}_{\sigma\mu\nu} = \partial_\mu\Gamma^\rho_{\nu\sigma}
    - \partial_\nu\Gamma^\rho_{\mu\sigma}
    + \Gamma^\rho_{\mu\lambda}\Gamma^\lambda_{\nu\sigma}
    - \Gamma^\rho_{\nu\lambda}\Gamma^\lambda_{\mu\sigma}

В двумерном пространстве нетривиальной компонентой является только гауссова кривизна.

Симметрии

Тензор кривизны Римана обладает следующими свойствами симметрии:

R(u,v)=-R(v,u)^{}_{}
\langle R(u,v)w,z \rangle=-\langle R(u,v)z,w \rangle^{}_{}
R(u,v)w+R(v,w)u+R(w,u)v=0 ^{}_{}

Последнее тождество было открыто Риччи, хотя называется первым тождеством Бьянки или алгебраическим тождеством Бьянки.

Эти три тождества задают полный набор симметрий тензора кривизны, то есть для всякого тензора, удовлетворяющего этим соотношениям, можно найти риманово многообразие, кривизна которого описывается этим тензором. Простой комбинаторный подсчёт показывает, что тензор кривизны должен иметь n2(n2 − 1) / 12 независимых компонент.

Еще одно полезное соотношение следует из этих трех тождеств:

\langle R(u,v)w,z \rangle=\langle R(w,z)u,v \rangle^{}_{}

Тождество Бьянки (еще называется вторым тождеством Бьянки или дифференциальным тождеством Бьянки) привлекает ковариантные производные:

\nabla_uR(v,w)+\nabla_vR(w,u)+\nabla_w R(u,v) = 0

В заданной системе координат в окрестности некоторой точки многообразия приведённые выше тождества в компонентах тензора кривизны могут быть записаны как:

R_{abcd}^{}=-R_{bacd}=-R_{abdc}
R_{abcd}^{}=R_{cdab}
R_{a[bcd]}^{}=0 (первое тождество Бьянки)
R_{abcd}^{}=R_{cdab}^{} (следствие (1), (2) и (3))
R_{ab[cd;e]}^{}=0 (второе тождество Бьянки)

где квадратные скобки обозначают симметризацию.

См. также



Wikimedia Foundation. 2010.

Смотреть что такое "Риманова кривизна" в других словарях:

  • РИМАНОВА КРИВИЗНА — мера отличия метрик риманова и евклидова пространств. Пусть М точка риманова пространства, F двумерная регулярная поверхность , проходящая через M, L простой замкнутый контур на F, проходящий через М,s площадь участка поверхности, ограниченного… …   Математическая энциклопедия

  • Риманова геометрия —         многомерное обобщение геометрии на поверхности, представляющее собой теорию римановых пространств, т. е. таких пространств, где в малых областях приближённо имеет место евклидова геометрия (с точностью до малых высшего порядка… …   Большая советская энциклопедия

  • КРИВИЗНА — количеств. характеристика, описывающая отклонение кривой, поверхности, риманова пространства и др. соответственно от прямой, плоскости, евклидова пространства и др. Обычно понятие К. вводится локально, т. е. в каждой точке. В декартовых… …   Физическая энциклопедия

  • РИМАНОВА ГЕОМЕТРИЯ — геометрия риманова пространства. Осн …   Физическая энциклопедия

  • кривизна — ы; ж. 1. к Кривой (1 зн.). К. потолка была заметна. 2. Матем. Величина, характеризующая степень отклонения кривой линии или поверхности от касательной прямой (касательной плоскости). К. поверхности. * * * кривизна величина, характеризующая… …   Энциклопедический словарь

  • КРИВИЗНА — англ. curvature; нем. Krummung. 1. Ряд количественных характеристик (численных, векторных, тензорных), описывающих отклонение свойств того или иного объекта (кривой, поверхности, риманова пространства и т. д.) от соответствующих объектов (прямая …   Энциклопедия социологии

  • КРИВИЗНА — собирательное название ряда количественных характеристик (численных, векторных, тензорных), описывающих отклонение свойств того или иного объекта (кривой, поверхности, риманова пространства и др.) от соответствующих объектов (прямая, плоскость,… …   Математическая энциклопедия

  • РИМАНОВА ГЕОМЕТРИЯ — теория риманова пространства. Р и м а н о в ы м п р о с т р а н с т в о м наз. n мерное связное дифференцируемое многообразие М п, на к ром задано дифференцируемое поле ковариантного, симметрического и положительно определенного тензора gранга 2 …   Математическая энциклопедия

  • Кривизна — В дифференциальной геометрии, кривизна собирательное название ряда количественных характеристик (скалярных, векторных, тензорных), описывающих отклонение того или иного геометрического «объекта» (кривой, поверхности, риманова пространства и т.… …   Википедия

  • Кривизна Риччи — В дифференциальной геометрии тензор Риччи, названный в честь Риччи Курбастро, задаёт один из способов измерения кривизны многообразия, то есть степени отличия геометрии многообразия от геометрии плоского евклидова пространства. Тензор Риччи,… …   Википедия


Поделиться ссылкой на выделенное

Прямая ссылка:
Нажмите правой клавишей мыши и выберите «Копировать ссылку»

We are using cookies for the best presentation of our site. Continuing to use this site, you agree with this.