Решетка Стоуна

Стоуна решётка — дистрибутивная решётка L с псевдодополнениями, в которой a * + a * * = 1 для всех $a \in L$. Дистрибутивная решётка L с псевдодополнениями является структурной решёткой тогда и только тогда, когда теоретико-структурное объединение двух её различных минимальных простых идеалов совпадает с L (теорема Гретцера — Шмидта^[1]).

Структурная решётка, рассматриваемая как универсальная алгебра с основными операциями $< \vee,\land,*,0,1 >$, называется алгеброй Стоуна. Всякая алгебра Стоуна является подпрямым произведением двухэлементных и трёхэлементных цепей. В решётке с псевдодополнениями элемент x называется плотным, если x * = 0. Центр C(L) решётки Стоуна L — булева алгебра, а множество D(L) всех её плотных элементов — дистрибутивная решётка с единицей. При этом гомоморфизм φ^L решётки C(L) в решётку F(D(L)) фильтров решётки D(L), определяемый условием $a \phi^L = \{ x|x \in D(L), x \ge a* \},$ сохраняет 0 и 1.

Тройкой, ассоциированной с алгеброй Стоуна L, называется тройка < C(L),D(L),φ^L > . Естественным образом определяются гомоморфизмы и изоморфизмы троек. Произвольная тройка < C,D,φ > , где C — булева алгебра, D — дистрибутивная решётка с 1, а φ: $C \to F(D)$ — гомоморфизм, сохраняющий 0 и 1, изоморфна тройке, ассоциированной с некоторой алгеброй Стоуна; алгебры Стоуна изоморфны тогда и только тогда, когда изоморфны ассоциированные с ними тройки (теорема Чена — Гретцера^[2]).

Примечания

1. ↑ Grätzer G., Schmidt E. T. «Acta math. Acad. sci. hung.», 1957, v. 8, fasc. 3-4, p. 455—460
2. ↑ Chen C. C., Grätzer G. «Canad. J. Math.», 1969, v.21, № 4, p. 884—903.

Литература

• Биркгоф Г. Теория решёток. — пер. с англ., М., 1984.
• Фофанова Т. С. Упорядоченные множества и решётки. — в. 3, Саратов, 1975. С. 22-40.