Простой фильтр

Фильтр — подмножество решётки, удовлетворяющее определённым условиям. Понятие происходит из общей топологии, где возникают фильтры на решётке всех подмножеств какого-либо множества, упорядоченных отношением включения. Фильтр — понятие, двойственное идеалу.

Определение в рамках теории решёток

Подмножество F решётки L называется фильтром, если

• для всех $a,b \in F$, $a \land b \in F$
• для всех $a \in F$ и b таких, что $a \leq b$, $b \in F$

Фильтр называется собственным, если $F \neq L$.

Собственный фильтр такой, что не существет собственных фильтров, его содержащих, называется ультрафильтром или максимальным фильтром.

Фильтр F называется простым, если в нём для всех $a,b \in F$ из того, что $a \lor b \in F$, следует, что либо $a \in F$, либо $b \in F$.

Минимальный фильтр, содержащий данный элемет x называется главным фильтром сгенерированным главным элементом x.

Если F фильтр, то $L \backslash F$ является идеалом.

Фильтры на множествах

Частным случаем фильтра является фильтр на множестве. Для каждого множества X можно определить решётку его подмножеств $(P(X),\subseteq)$. Тогда фильтр F на X определяестя как подмножество P(X) удовлетворяющее следующим условиям:

• $\emptyset \notin F$
• пересечение любых двух элементов F лежит в F
• надмножество любого элемента F лежит в F

Фильтр вида $\{Y \subseteq X \mid Z \subseteq Y\}$ называется фильтром, сгенерированным множеством Z. Фильтр, сгенерированный множеством из одного элемента, называется главным. Главный фильтр является ультрафильтром.

Примеры

• множество всех окрестностей точки топологического пространства является фильтром.
• если X бесконечное множество, то множество дополнений конечных множеств является фильтром. Такой фильтр называется коконечным фильтром или фильтром Фреше.

См. также

• Ультрафильтр
• Чехстоунова компактификация