Обратное неравенство треугольника

Нера́венство треуго́льника в геометрии, функциональном анализе и смежных дисциплинах — это одно из интуитивных свойств расстояния. Оно утверждает, что длина любой стороны треугольника всегда не превосходит сумму длин двух его других сторон. Неравенство треугольника иногда включается как аксиома некоторой теории (например, оно включено в определение метрического пространства), иногда как теорема.

Евклидова геометрия

Длина любой стороны треугольника не превосходит сумму длин двух других.

Пусть дан треугольник ΔABC. Тогда $|AC| \leqslant |AB|+|BC|,$ причём равенство | AC | = | AB | + | BC | достигается только тогда, когда треугольник вырожден, и точка B лежит строго между A и C.

Евклид в Началах доказывает неравенство треугольника следующим образом. Сначала доказывается теорема о том, что внешний угол треугольника больше внутреннего угла, с ним не смежного. Из неё выводится теорема о том, что против большей стороны треугольника лежит больший внутренний угол. Далее, методом от противного доказывается теорема о том, что против большего внутреннего угла треугольника лежит большая сторона. А из этой теоремы выводится неравенство треугольника.

Нормированное пространство

Пусть $(X,\|\cdot\|)$ — нормированное векторное пространство, где X — произвольное множество, а $\|\cdot\|$ — определённая на X норма. Тогда по определению последней справедливо:

$\|x+y\| \leqslant \|x\| + \|y\|,\quad \forall x,y\in X.$

Метрическое пространство

Пусть (X,ρ) — метрическое пространство, где X — произвольное множество, а ρ — определённая на X метрика. Тогда по определению последней

$\rho(x,y) \leqslant \rho(x,z) + \rho(z,y),\quad x,y,z\in X.$

Обратное неравенство треугольника

Следствием неравенства треугольника в нормированном и метрическом пространствах являются следующие неравенства:

• $\bigl| \|x\| - \|y\| \bigr| \leqslant \|x-y\|,\quad x,y\in X;$
• $| \rho(x,y) - \rho(x,z) | \leqslant \rho(y,z), \quad x,y,z\in X.$

Неравенство треугольника для трехгранного угла

Каждый плоский угол трёхгранного угла меньше суммы двух других его плоских углов.