- БЕСКОНЕЧНО УДАЛЕННЫЕ ЭЛЕМЕНТЫ
несобственные элементы,- элементы (точки, прямые, плоскости и т. д.), возникающие при расширении нек-рого аффинного пространства до компактного пространства. Б. у. э. являются одной из форм проявления в различных математич. теориях "актуальной" бесконечности. При этом неразрывная связь бесконечного и конечного проявляется в том, что Б. у. э. имеют смысл лишь постольку, поскольку они рассматриваются при нек-рой конкретной компактификации данного "конечного" пространства. Ниже описываются виды Б. у. э., возникающие при наиболее часто применяемых способах компактификации евклидовых конечномерных пространств.
1) Введением Б. у. э. (точек
) числовая прямая
пополняется до компактной расширенной числовой прямой
гомеоморфной отрезку. Другой способ компактификации состоит в погружении
в действительную проективную прямую
, гомеоморфную окружности
(см. Проективное пространство);при этом
пополняется одной единственной бесконечно удаленной точкой
.
2) Добавлением одной единственной бесконечно удаленной точки
конечная комплексная плоскость
пополняется до компактной расширенной комплексной плоскости
гомеоморфной комплексной проективной прямой или Римана сфере
(единичной сфере в евклидовом пространстве
).
3) Добавлением одной единственной бесконечно удаленной точки
n-мерное действительное числовое пространство
пополняется до компактного расширенного числового пространства
гомеоморфного сфере
этот гомеоморфизм наглядно демонстрируется стереографической проекцией. Другой способ компактификации состоит в погружении
в n-мерное действительное проективное пространство
. При
эти две компактификации не гомео-морфны.
Например, параллельным прямым в проективной плоскости
соответствует одна и та же бесконечно удаленная точка, непараллельным прямым - различные бесконечно удаленные точки. Все бесконечно удаленные точки плоскости
составляют бесконечно удаленную прямую. Аналогично, в проективном пространстве P3(R) каждая плоскость дополнена бесконечно удаленной прямой. Все бесконечно удаленные точки и бесконечно удаленные прямые в
составляют бесконечно удаленную плоскость. Вообще, в
все Б. у. э. размерности
составляют бесконечно удаленную
-мерную гиперплоскость.
4) Компактификация комплексного n-ме. <рного числового пространства
также возможна посредством погружения
в комплексное n-мерное проективное пространство
. В
также все Б. у. э. размерности
составляют комплексную
мерную бесконечно удаленную гиперплоскость. Другой способ компактификации состоит в расширении
до расширенного комплексного пространства
представляющего собой топологич. произведение n пространств
При
пространства
и
не гомеоморфны. Бесконечно удаленными точками пространства
являются те наборы
в к-рых хотя бы одна координата
. Множество всех бесконечно удаленных точек пространства
естественно разбивается на пмножеств
причем каждое
имеет размерность
. Точка
принадлежит всем
. При рассмотрении действительных функций в
применима также одноточечная компактификация
, гомеоморфная
или сфере
.
Лит.:[1] Вурбаки Н., Общая топология. Топологические группы. Числа и связанные с ними группы и пространства, пер. с франц., М., 1969; [2] Ефимов Н. В., Высшая геометрия, 5 изд., М., 1971;[3]Хартсхорн Р., Основы проективной геометрии, пер. с англ., М., 1970; [4] Фукс Б. А., Введение в теорию аналитических функций многих комплексных переменных, М., 1962; [5] Шабат Б. В., Введение в комплексный анализ, 2 изд., ч. 1-2, М., 1976. Е. Д. Соломениев.
Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия. И. М. Виноградов. 1977—1985.