Матрицы перехода

Матрицы перехода

У этого термина существуют и другие значения, см. Матрицы переходных вероятностей.

Ма́трицей перехо́да от базиса < a1,a2..an > к базису < b1,b2..bn > является матрица, столбцы которой — разложение векторов < b1,b2..bn > в базисе < a1,a2..an >.

Обозначается P_{a \rightarrow b} \in F^{n*n}

Содержание

Представление

Так как

\mathbf{b}_1 = \alpha_{11}\mathbf{a}_1 + \alpha_{12}\mathbf{a}_2 + \ldots + \alpha_{1n}\mathbf{a}_n .
\mathbf{b}_2 = \alpha_{21}\mathbf{a}_1 + \alpha_{22}\mathbf{a}_2 + \ldots + \alpha_{2n}\mathbf{a}_n  .
\ldots.
\mathbf{b}_n = \alpha_{n1}\mathbf{a}_1 + \alpha_{n2}\mathbf{a}_2 + \ldots + \alpha_{nn}\mathbf{a}_n  .

Матрица перехода это


 \begin{pmatrix} a_{11} &amp;amp; a_{21}&amp;amp;... &amp;amp; a_{n1}  \\ a_{12} &amp;amp; a_{22}&amp;amp;... &amp;amp; a_{n2}  \\  ...&amp;amp;...&amp;amp;...&amp;amp;... \\a_{1n} &amp;amp; a_{2n}&amp;amp;... &amp;amp; a_{nn} \end{pmatrix}

Использование

При умножении справа вектора из линейной оболочки базиса a1,a2..an на матрицу перехода мы получаем тот же вектор, выраженный через базис b1,b2..bn.

Из-за того, что уменьшает объём работы при переводе векторов аффинных пространств и в пространстве столбцов Rnв другие базисы, используется в трёхмерном моделировании.

Поворот вектора в двухмерном пространстве

Для того, чтобы повернуть вектор на угол θ против часовой стрелки, можно умножить его на матрицу поворота:


\begin{bmatrix} x' \\ y' \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \cos \theta &amp;amp;  -\sin\theta \\ \sin \theta &amp;amp; \cos \theta \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix}

Аналогично для поворота по часовой стрелке:


\begin{bmatrix} x' \\ y' \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \cos \theta &amp;amp;  \sin\theta \\ -\sin \theta &amp;amp; \cos \theta \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix}

Изменение

Можно изменить длину вектора, умножив его на матрицу:


\begin{bmatrix} x' \\ y' \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} s_x &amp;amp; 0 \\ 0 &amp;amp; s_y \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix}

Свойства

Пример поиска матрицы

найдём матрицу перехода от базиса a_{1}= \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ -1 \end{pmatrix},a_{2}=\begin{pmatrix} -1 \\ -4 \\ 2 \end{pmatrix},a_{3}=\begin{pmatrix} 5 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} к единичному базису b_{1}= \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix},b_{2}=\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix},b_{3}=\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} путём элементарных преобразований

 \begin{pmatrix} 1 &amp;amp; -1 &amp;amp; 5 &amp;amp; | &amp;amp; 1&amp;amp;0 &amp;amp;0 \\ 2 &amp;amp; -4 &amp;amp; 1&amp;amp; |&amp;amp; 0&amp;amp;1&amp;amp;0  \\ -1 &amp;amp; 2 &amp;amp; 0 &amp;amp; | &amp;amp;0&amp;amp;0&amp;amp;1  \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 1 &amp;amp; 0 &amp;amp; 0 &amp;amp; | &amp;amp; 2&amp;amp;-10 &amp;amp;-19 \\ 0 &amp;amp; 1 &amp;amp; 0&amp;amp; |&amp;amp; 1&amp;amp;-5&amp;amp;-9  \\ 0 &amp;amp; 0 &amp;amp; 1 &amp;amp; | &amp;amp;0&amp;amp;1&amp;amp;2\end{pmatrix} следовательно P_{a-&amp;gt;b}=\begin{pmatrix}2&amp;amp;-10 &amp;amp;-19 \\  1&amp;amp;-5&amp;amp;-9  \\ 0&amp;amp;1&amp;amp;2  \end{pmatrix}

См. также

Ссылки



Wikimedia Foundation. 2010.

Игры ⚽ Нужен реферат?

Полезное


Смотреть что такое "Матрицы перехода" в других словарях:

  • Матрица перехода — У этого термина существуют и другие значения, см. Цепи Маркова#Переходная матрица и однородные цепи. Матрицей перехода от базиса к базису является матрица, столбцы которой  координаты разложения векторов в базисе . Обозначается …   Википедия

  • Разложение матрицы — Разложение матрицы  представление матрицы в виде произведения матриц, обладающих некоторыми определёнными свойствами, например, ортогональностью, симметричностью, диагональностью  и потому облегчающих рассмотрение свойств линейного… …   Википедия

  • Подобные матрицы — Квадратные матрицы A и B одинакового порядка называются подобными, если существует невырожденная матрица P того же порядка, такая что: Подобные матрицы получаются при задании одного и того же линейного преобразования матрицей в разных… …   Википедия

  • Подобные матрицы —         квадратные матрицы (См. Матрица) А и В порядка n, связанные соотношением В = Р 1АР, где Р какая либо неособенная (т. е. имеющая обратную) матрица того же порядка. При задании матрицей линейного преобразования (См. Линейное преобразование) …   Большая советская энциклопедия

  • скорость выщелачивания радионуклидов из цементной матрицы — 3.3 скорость выщелачивания радионуклидов из цементной матрицы: Скорость перехода радионуклидов в растворитель при контакте с последним. Источник: ГОСТ Р 51883 2002: Отходы радиоактивные цементированные. Общие технические требования …   Словарь-справочник терминов нормативно-технической документации

  • ГИПЕРБОЛИЧЕСКОГО ТИПА УРАВНЕНИЕ — численные методы решения методы решения уравнений гииерболпч. типа на основе вычислительных алгоритмов. Различные математич. модели во многих случаях приводят к дифференциальным уравнениям гиперболич. типа. Такие уравнения имеют точные аиалитич.… …   Математическая энциклопедия

  • Матрица поворота — Проверить информацию. Необходимо проверить точность фактов и достоверность сведений, изложенных в этой статье. На странице обсуждения должны быть пояснения …   Википедия

  • Процесс Грама ― Шмидта — Процесс Грама (англ.) ― Шмидта  это один из алгоритмов, в которых на основе счётного множества линейно независимых векторов строится множество ортогональных векторов или ортонормированных векторов , причём так, что каждый вектор …   Википедия

  • Ортогонализация Грама-Шмидта — Процесс Грама ― Шмидта ― наиболее известный алгоритм ортогонализации, при котором по линейно независимой системе строится ортогональная система такая, что каждый вектор bi линейно выражается через , то есть матрица перехода от {ai} к {bi} ―… …   Википедия

  • Ортогонализация Грама ― Шмидта — Процесс Грама ― Шмидта ― наиболее известный алгоритм ортогонализации, при котором по линейно независимой системе строится ортогональная система такая, что каждый вектор bi линейно выражается через , то есть матрица перехода от {ai} к {bi} ―… …   Википедия


Поделиться ссылкой на выделенное

Прямая ссылка:
Нажмите правой клавишей мыши и выберите «Копировать ссылку»