Матрицы перехода

У этого термина существуют и другие значения, см. Матрицы переходных вероятностей.

Ма́трицей перехо́да от базиса < a₁,a₂..a_n > к базису < b₁,b₂..b_n > является матрица, столбцы которой — разложение векторов < b₁,b₂..b_n > в базисе < a₁,a₂..a_n >.

Обозначается $P_{a \rightarrow b} \in F^{n*n}$

Представление

Так как

$\mathbf{b}_1 = \alpha_{11}\mathbf{a}_1 + \alpha_{12}\mathbf{a}_2 + \ldots + \alpha_{1n}\mathbf{a}_n$.

$\mathbf{b}_2 = \alpha_{21}\mathbf{a}_1 + \alpha_{22}\mathbf{a}_2 + \ldots + \alpha_{2n}\mathbf{a}_n$.

$\ldots$.

$\mathbf{b}_n = \alpha_{n1}\mathbf{a}_1 + \alpha_{n2}\mathbf{a}_2 + \ldots + \alpha_{nn}\mathbf{a}_n$.

Матрица перехода это

$\begin{pmatrix} a_{11} &amp;amp; a_{21}&amp;amp;... &amp;amp; a_{n1} \\ a_{12} &amp;amp; a_{22}&amp;amp;... &amp;amp; a_{n2} \\ ...&amp;amp;...&amp;amp;...&amp;amp;... \\a_{1n} &amp;amp; a_{2n}&amp;amp;... &amp;amp; a_{nn} \end{pmatrix}$

Использование

При умножении справа вектора из линейной оболочки базиса a₁,a₂..a_n на матрицу перехода мы получаем тот же вектор, выраженный через базис b₁,b₂..b_n.

Из-за того, что уменьшает объём работы при переводе векторов аффинных пространств и в пространстве столбцов Rⁿв другие базисы, используется в трёхмерном моделировании.

Поворот вектора в двухмерном пространстве

Для того, чтобы повернуть вектор на угол θ против часовой стрелки, можно умножить его на матрицу поворота:

$\begin{bmatrix} x' \\ y' \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \cos \theta &amp;amp; -\sin\theta \\ \sin \theta &amp;amp; \cos \theta \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix}$

Аналогично для поворота по часовой стрелке:

$\begin{bmatrix} x' \\ y' \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \cos \theta &amp;amp; \sin\theta \\ -\sin \theta &amp;amp; \cos \theta \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix}$

Изменение

Можно изменить длину вектора, умножив его на матрицу:

$\begin{bmatrix} x' \\ y' \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} s_x &amp;amp; 0 \\ 0 &amp;amp; s_y \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix}$

Свойства

• Матрица перехода является невырожденной. То есть определитель этой матрицы не равен нулю.
• $P_{e-&amp;gt;e^'}^{-1}=P_{e^'-&amp;gt;e}$

Пример поиска матрицы

найдём матрицу перехода от базиса $a_{1}= \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ -1 \end{pmatrix},a_{2}=\begin{pmatrix} -1 \\ -4 \\ 2 \end{pmatrix},a_{3}=\begin{pmatrix} 5 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}$ к единичному базису $b_{1}= \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix},b_{2}=\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix},b_{3}=\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}$ путём элементарных преобразований

$\begin{pmatrix} 1 &amp;amp; -1 &amp;amp; 5 &amp;amp; | &amp;amp; 1&amp;amp;0 &amp;amp;0 \\ 2 &amp;amp; -4 &amp;amp; 1&amp;amp; |&amp;amp; 0&amp;amp;1&amp;amp;0 \\ -1 &amp;amp; 2 &amp;amp; 0 &amp;amp; | &amp;amp;0&amp;amp;0&amp;amp;1 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 1 &amp;amp; 0 &amp;amp; 0 &amp;amp; | &amp;amp; 2&amp;amp;-10 &amp;amp;-19 \\ 0 &amp;amp; 1 &amp;amp; 0&amp;amp; |&amp;amp; 1&amp;amp;-5&amp;amp;-9 \\ 0 &amp;amp; 0 &amp;amp; 1 &amp;amp; | &amp;amp;0&amp;amp;1&amp;amp;2\end{pmatrix}$ следовательно $P_{a-&amp;gt;b}=\begin{pmatrix}2&amp;amp;-10 &amp;amp;-19 \\ 1&amp;amp;-5&amp;amp;-9 \\ 0&amp;amp;1&amp;amp;2 \end{pmatrix}$

См. также

• Цепи Маркова
• Стохастическая матрица
• Матрица поворота

Ссылки

• Матрицы перехода от базиса к базису
• Матрица переходов и граф состояний .